最值定理

最值定理保证了连续函数在闭区间上不仅有界，而且能够取到最大值和最小值。

定理内容

最值定理

在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 必能取到最大值和最小值，即存在 $x_1, x_2 \in [a, b]$，使得：

• $f(x_1) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$
• $f(x_2) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$

几何意义

最值定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像有最高点和最低点。

证明思路

1. 利用有界性：函数有界，因此有上确界和下确界
2. 构造数列：构造收敛到上确界和下确界的数列
3. 利用连续性：利用函数在极限点的连续性
4. 证明最值存在：证明上确界和下确界就是最大值和最小值

应用例子

例子 1：多项式函数

问题：求函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

解：

• 函数在 $[0, 3]$ 上连续
• 根据最值定理，函数能取到最大值和最小值
• $f(x) = (x - 1)^2$
• 最小值在 $x = 1$ 处，$f(1) = 0$
• 最大值在 $x = 3$ 处，$f(3) = 4$

例子 2：三角函数

问题：求函数 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的最大值和最小值。

解：

• 函数在 $[0, 2\pi]$ 上连续
• 最大值：$f(\frac{\pi}{2}) = 1$
• 最小值：$f(\frac{3\pi}{2}) = -1$

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练习题

练习 1

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，试说明 $f(x)$ 是否一定能取到最大最小值。

参考答案

解题思路：利用最值定理。

详细步骤：

1. 根据最值定理，在闭区间上连续的函数必能取到最大值和最小值
2. 因此 $f(x)$ 一定能取到最大值和最小值

答案：一定能取到最大值和最小值。

练习 2

求函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值。

参考答案

解题思路：利用最值定理和求导。

详细步骤：

1. 函数在 $[-2, 2]$ 上连续，必有最值
2. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0$，得 $x = \pm 1$
3. 计算关键点的函数值：
   • $f(-2) = -2$
   • $f(-1) = 2$
   • $f(1) = -2$
   • $f(2) = 2$
4. 最大值为 2，最小值为 -2

答案：最大值为 2，最小值为 -2。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示角度（如 $\frac{\pi}{2}$）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
最值定理	extreme value theorem	/ɪkˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	闭区间上连续函数必能取到最大值和最小值的定理
最大值	maximum value	/ˈmæksɪməm ˈvæljuː/	函数的最大值
最小值	minimum value	/ˈmɪnɪməm ˈvæljuː/	函数的最小值
上确界	supremum	/suːˈpriːməm/	函数值的上确界
下确界	infimum	/ɪnˈfaɪməm/	函数值的下确界

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