极限法

利用极限的性质判定连续性。

判定原则

• 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则函数在 $x_0$ 点连续
• 如果极限不存在或极限值不等于函数值，则函数在该点不连续

应用例子

例子 1：判断函数 $f(x) = \sin x$ 在 $x = 0$ 处的连续性

解：

1. $f(0) = \sin 0 = 0$
2. $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$
3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
4. 结论：函数在 $x = 0$ 处连续

例子 2：判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性

解：

1. 函数在 $x = 1$ 处无定义
2. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$
3. 极限存在但函数值无定义
4. 结论：函数在 $x = 1$ 处不连续

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路：使用极限法判定。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处有定义：$f(0) = 1$
2. 计算极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
3. 比较：$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

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