第一类间断点

第一类间断点是间断点的重要类型，其特征是左、右极限都存在。

定义

第一类间断点的定义

左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点。

第一类间断点又分为两种：

可去间断点

定义

可去间断点的定义

$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在但不等于 $f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义）的间断点称为可去间断点。

特征

• 左极限等于右极限
• 极限值与函数值不相等（或函数值无定义）
• 可以通过重新定义函数值使函数在该点连续

例子

例子 1：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处

分析：

• 函数在 $x = 1$ 处无定义
• $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
• 极限存在但函数值无定义
• 因此 $x = 1$ 是可去间断点

例子 2：$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处有定义，$f(0) = 0$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• 极限存在但不等于函数值
• 因此 $x = 0$ 是可去间断点

处理方法

对于可去间断点，可以通过重新定义函数值使其连续：

重新定义函数值：

• 将函数在该点的值定义为极限值
• 使函数在该点连续

例子：

• 原函数：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
• 重新定义：$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$
• 重新定义后，函数在 $x = 1$ 处连续

跳跃间断点

定义

跳跃间断点的定义

左、右极限存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。

特征

• 左极限不等于右极限
• 函数图像在该点有”跳跃”
• 无法通过重新定义函数值使函数连续

例子

例子 1：$f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
• 函数值：$f(0) = 1$
• 左极限不等于右极限
• 因此 $x = 0$ 是跳跃间断点

例子 2：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2x, & x > 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处

分析：

• 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$
• 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$
• 函数值：$f(1) = 1$
• 左极限不等于右极限
• 因此 $x = 1$ 是跳跃间断点

处理方法

跳跃间断点无法通过重新定义函数值使其连续，但可以：

分析跳跃大小：

• 计算跳跃的大小：$|\lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x)|$
• 分析跳跃对函数性质的影响

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 在 $x = 3$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：计算极限并判断间断点类型。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 3$ 处无定义

2. 计算极限：$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$

3. 极限存在但不等于函数值（函数值无定义）

答案：$x = 3$ 是可去间断点。

练习 2

判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：分别计算左右极限并比较。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$

2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$

3. 函数值：$f(0) = 0 + 1 = 1$

4. 左极限不等于右极限

答案：$x = 0$ 是跳跃间断点。

练习 3

判断函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：计算极限和函数值，判断是否连续或为哪类间断点。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. 函数值：$f(0) = 0$
3. 极限存在但不等于函数值

答案：$x = 0$ 是可去间断点。

练习 4

已知 $f(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2 - x, & x \geq 1 \end{cases}$，判断 $x = 1$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：分别计算左右极限和函数值，判断间断点类型。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 - 1 = 1$
3. 函数值：$f(1) = 2 - 1 = 1$
4. 左右极限和函数值都相等

答案：$x = 1$ 处连续，不是间断点。

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
第一类间断点	discontinuity of the first kind	/dɪskɒntɪˈnjuːəti əv ðə fɜːst kaɪnd/	左右极限都存在的间断点
可去间断点	removable discontinuity	/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːəti/	极限存在但不等于函数值的间断点
跳跃间断点	jump discontinuity	/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːəti/	左右极限存在但不相等的间断点

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