Integral Test

Definition

Integral test

Let $f(x)$ be continuous, decreasing, and nonnegative on $[1,+\infty)$ with $a_n = f(n)$. Then $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ and $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ converge or diverge together.

Integral test statement

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges or diverges with $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ when $a_n = f(n)$ and $f$ is continuous, decreasing, and nonnegative on $[1,+\infty)$.

When to use

• Terms come from a nice continuous function.
• Other tests are awkward.

Example

Example 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$.

Solution: $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$; $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \ln(\ln x)\big|_2^{+\infty} = +\infty$, so the series diverges.

练习题

练习 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$.

参考答案

思路：Use the integral test with $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$.

答案：积分发散，级数发散。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$f(x)$	数学符号	函数	连续函数
$a_n$	数学符号	通项	级数中第 $n$ 项
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分判别法	integral test	/ˈɪntɪɡrəl test/	通过积分判断级数收敛性的方法
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
连续函数	continuous function	/kənˈtɪnjʊəs ˈfʌŋkʃən/	在定义域内连续的函数
单调递减	monotonically decreasing	/ˌmɒnəˈtɒnɪkli dɪˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而减小

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