Ratio Test (d'Alembert)

Definition

Ratio test

For a positive series $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ with $a_n > 0$, if

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho,$

then:

1. $\rho < 1$ ⇒ convergent
2. $\rho > 1$ ⇒ divergent
3. $\rho = 1$ ⇒ inconclusive

Ratio test rule

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

• $\rho < 1$: convergent
• $\rho > 1$: divergent
• $\rho = 1$: test fails

When to use

• Factorials or exponentials appear.
• Adjacent-term ratio is easy to compute.

Example

Example 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$.

Solution: $a_n = \frac{n!}{n^n}$,

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to \frac{1}{e} < 1$, so it converges.

练习题

练习 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.

参考答案

思路：Ratio test; $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1$.

答案：收敛（convergence）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\rho$	希腊字母	Rho（柔）	表示级数收敛性判别中的极限值
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底，约等于 2.71828

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法
达朗贝尔判别法	d’Alembert’s test	/dælˈæmbəts test/	比值判别法的另一种称呼
正项级数	positive series	/ˈpɒzətɪv ˈsɪəriːz/	所有项都非负的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限

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