Harmonic Series

Definition

Harmonic series

The series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ is called the harmonic series. It is the special case of a $p$-series with $p = 1$.

Convergence

Divergence of the harmonic series

The harmonic series diverges.

Proofs

Method 1: $p$-series rule

It is a $p$-series with $p = 1 \le 1$, so it diverges.

Method 2: Integral test

Compute $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty$, so the series diverges.

Other divergence proofs

Grouping method

Group terms as

$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

Each group exceeds $\frac{1}{2}$, so partial sums grow without bound; the series diverges.

Comparison

Since $\frac{1}{n} \geq \frac{1}{n+1}$,

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \geq \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$

If $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ converged, so would $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$, contradicting divergence; hence it diverges.

练习题

练习 1

Determine whether $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ converges.

参考答案

思路：It is the harmonic series ($p=1$).

答案：Divergent.

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n$	数学符号	项数	级数中的项数
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
调和级数	harmonic series	/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，$p = 1$ 时的 $p$ 级数
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
积分判别法	integral test	/ˈɪntɪɡrəl test/	通过积分判断级数收敛性的方法
比较判别法	comparison test	/kəmˈpærɪsən test/	通过比较判断级数收敛性的方法
分组法	grouping method	/ˈɡruːpɪŋ ˈmeθəd/	通过分组证明级数发散的方法

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