Arctangent Series

Definition

Arctangent series

The series $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ is called the arctangent series.

Convergence

Convergence of the arctangent series

• Interval of convergence: $[-1, 1]$
• Sum:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = \arctan x$

Application

Useful for computing $\pi$: when $x = 1$,

$\arctan 1 = \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots,$ the classic Leibniz series.

Examples

Example 1

Approximate $\arctan \frac{1}{2}$ with the first five terms.

Solution: $\arctan \frac{1}{2} \approx \frac{1}{2} - \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} - \frac{1}{7 \cdot 2^7} + \frac{1}{9 \cdot 2^9} \approx 0.4636$.

练习题

练习 1

Approximate $\arctan \frac{1}{3}$ with the first four terms.

参考答案

思路：Use the arctangent series with $x = \frac{1}{3}$.

步骤：

1. Terms: $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{81}$, $\frac{1}{1215}$, $-\frac{1}{15309}$
2. Sum: $\frac{1}{3} - \frac{1}{81} + \frac{1}{1215} - \frac{1}{15309} \approx 0.3218$

答案：$\arctan \frac{1}{3} \approx 0.3218$（前四项）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$x$	数学符号	变量	反正切级数中的变量
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，约等于 3.14159
$\arctan$	数学符号	反正切	反正切函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反正切级数	arctangent series	/ɑːkˈtændʒənt ˈsɪəriːz/	反正切函数的级数展开
收敛区间	interval of convergence	/ˈɪntəvəl əv kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛的区间
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
莱布尼茨级数	Leibniz series	/ˈlaɪbnɪts ˈsɪəriːz/	用于计算 $\pi$ 的级数

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