Using Integration by Parts

Integration by parts for definite integrals follows the same rule with bounds.

分部积分公式

If $u(x), v(x)$ are differentiable,

$\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx.$

应用例子

例：$\int_0^1 x e^x dx$
取 $u=x,\ v'=e^x \Rightarrow u'=1,\ v=e^x$.
$\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = 1$.

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Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral	定积分符号
$[u v]_a^b$	符号	bracket	在 $a,b$ 处的取值差

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
分部积分法	integration by parts	/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	通过分配导数与乘积拆分积分

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