Using the Integral Mean Value Theorem

Use the integral mean value theorem to estimate or relate integrals to function values.

例子

例：估计 $\int_0^1 e^{-x^2} dx$
因为 $e^{-x^2}$ 连续且递减，存在 $\xi\in[0,1]$ 使积分等于 $e^{-\xi^2}(1-0)$。故 $e^{-1}\le \int_0^1 e^{-x^2} dx \le 1$。

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练习题

练习 1

利用积分中值定理，估计 $\int_0^2 \cos x \, dx$。

参考答案

思路：$\cos x$ 在 $[0,2]$ 连续且变化，存在 $\xi$ 使积分 $=\cos \xi \cdot 2$。
计算真实值：$[\sin x]_0^2 = \sin 2 \approx 0.909$，故 $\cos\xi = \tfrac{\sin2}{2} \approx 0.4545$。
答案：存在 $\xi\in[0,2]$ 使 $\cos\xi \approx 0.4545$；积分约 $0.909$。

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Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\xi$	希腊字母	Xi（ksee）	中值点
$\int$	数学符号	integral	定积分符号

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分中值定理	integral mean value theorem	/ˈɪntɪɡrəl miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	存在 $\xi$ 使 $\int f = f(\xi)(b-a)$

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