Using Periodicity

Periodicity of $f$ lets us reuse integrals over one period.

周期函数的积分

If $f(x)$ has period $T$,

$\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx.$

Proof: interval additivity plus periodicity.

应用例子

• $\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = 0$ (areas cancel).
• $\int_0^{4\pi} \cos^2 x \, dx = 4\int_0^{\pi} \cos^2 x \, dx = 2\pi$.

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Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$T$	符号	period	周期长度
$\int$	数学符号	integral	定积分符号

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
周期性	periodicity	/ˌpɪəriəˈdɪsəti/	周期函数平移一周期积分不变
周期函数	periodic function	/ˌpɪəriˈɒdɪk ˈfʌŋkʃən/	以 $T$ 为周期的函数

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