Interval Additivity

Interval additivity lets us split an integral over subintervals.

基本定理

定理 2

If $f(x)$ is integrable on $[a, c]$ and $b \in (a, c)$ , then

$\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx$

几何解释

Geometrically: the total area equals the sum over subintervals.

例： $\int_0^2 x^2 dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 x^2 dx = \tfrac{8}{3}$ 。

用区间可加性计算 $\int_0^3 x \, dx$ 。

参考答案

思路：拆成 $[0,1]$ 与 $[1,3]$ 。
$\int_0^3 x dx = \tfrac12 + [\tfrac{x^2}{2}]_1^3 = \tfrac92$ 。
答案： $\tfrac92$ 。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral	定积分符号
$[a,b],[b,c]$	区间	interval	分割的子区间

中文术语	英文术语	音标	说明
区间可加性	interval additivity	/ˈɪntəvəl ædəˈtɪvəti/	分段积分的和等于整体积分