Linearity

Linearity is one of the most basic properties of definite integrals.

基本线性性质

定理 1

Let $f(x)$ and $g(x)$ be integrable on $[a, b]$, and $k$ be a constant. Then:

1. $\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$
2. $\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx$

证明

Use linearity of sums and limits.

应用例子

例：计算 $\int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx$

解：

• $= 2\int_0^1 x^2 dx + 3\int_0^1 x dx$
• $= 2 \cdot \tfrac13 + 3 \cdot \tfrac12 = \tfrac{13}{6}$

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练习题

练习 1

用线性性质计算 $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx$。

参考答案

思路：拆成三项分别积分。
答案：$3$。

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Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral	定积分符号
$k$	常数符号	constant	线性性质中的常数倍

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
线性性质	linearity	/ˌlɪniˈærəti/	积分对加法与常数倍保持线性

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