Linearity of Indefinite Integrals

Linearity is a fundamental property: integrals respect addition and scalar multiplication.

基本定理

定理 1

If $f(x), g(x)$ are continuous on interval $I$ , and $a,b$ are constants, then

$\int [a f(x) + b g(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx.$

Let $F, G$ be antiderivatives of $f,g$ . Then $(aF + bG)' = af + bg$ , so $aF+bG$ is an antiderivative of $af+bg$ .

Linearity mirrors the linearity of differentiation.

例 $\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C$ .

利用线性性质计算 $\int (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx$ 。

参考答案

答案： $\dfrac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + C$ 。

计算 $\int (x^2 + 2x + 1) dx$ 。

参考答案

答案： $\dfrac{x^3}{3} + x^2 + x + C$ 。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral	不定积分符号

中文术语	英文术语	音标	说明
线性性质	linearity	/ˌlɪniˈærəti/	积分对加法与常数倍线性