Integrals of Rational Functions

Rational functions are integrated via partial fraction decomposition.

部分分式分解

步骤

1. Factor the denominator.
2. Write partial fractions according to the factors.
3. Solve for coefficients.
4. Integrate each partial fraction.

例子

例 1 $\int \dfrac{1}{x^2 - 1} dx$

Factor $(x-1)(x+1)$, set $\dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$; solve $A=\tfrac12$, $B=-\tfrac12$.

Result: $\tfrac12\ln|x-1| - \tfrac12\ln|x+1| + C$.

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练习题

练习 1

计算 $\int \dfrac{1}{x^2 - 4} dx$。

参考答案

思路：部分分式分解。
$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{1/4}{x-2} - \dfrac{1/4}{x+2}$.
答案：$\dfrac{1}{4}\ln|x-2| - \dfrac{1}{4}\ln|x+2| + C$。

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Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral	不定/定积分符号

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
部分分式分解	partial fraction decomposition	/ˈpɑːʃl ˈfrækʃən ˌdiːkɒmpəˈzɪʃn/	将有理函数拆成简单分式
有理函数	rational function	/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/	多项式比值形式

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