算术运算

加法运算

二进制加法

二进制加法遵循以下规则：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10（进位 1）

半加器和全加器

半加器：处理两个一位二进制数的加法
全加器：处理两个一位二进制数加上来自低位的进位

多位加法器

串行进位加法器：逐位计算，速度较慢
并行进位加法器：同时计算所有位，速度快但电路复杂
超前进位加法器：预先计算进位，平衡速度和复杂度

减法运算

补码表示

计算机中通常使用补码表示负数：

原码：最高位表示符号，其余位表示数值
反码：正数不变，负数各位取反
补码：正数不变，负数反码加 1

补码加法

减法可以通过补码加法实现：

A - B = A + (-B)

其中(-B)是 B 的补码。

溢出检测

符号位溢出：两个正数相加得到负数，或两个负数相加得到正数
进位溢出：最高位有进位但符号位无变化

乘法运算

移位加法乘法

基本乘法算法：

将被乘数左移
根据乘数的每一位决定是否加上被乘数
累加得到结果

Booth 算法

改进的乘法算法：

减少部分积的数量
通过移位和加减操作实现
适用于有符号数乘法

硬件乘法器

阵列乘法器：并行计算所有部分积
树形乘法器：使用树形结构减少延迟
流水线乘法器：将乘法分解为多个阶段

除法运算

恢复余数除法

基本除法算法：

将被除数左移
尝试减去除数
如果结果为正，商为 1；否则恢复并商为 0
重复直到所有位处理完毕

不恢复余数除法

改进的除法算法：

不恢复被减去的数
通过调整后续操作补偿
减少恢复操作，提高效率

硬件除法器

阵列除法器：并行处理多位
迭代除法器：通过多次迭代提高精度
查表除法器：使用查找表加速计算

浮点运算

浮点数表示

IEEE 754 标准：

单精度：32 位（1 位符号，8 位指数，23 位尾数）
双精度：64 位（1 位符号，11 位指数，52 位尾数）

浮点加法

对阶：使两个数的指数相同
尾数相加：对齐后的尾数相加
规格化：调整结果到标准格式
舍入：根据舍入模式处理精度

浮点乘法

指数相加：两个指数的和
尾数相乘：两个尾数的乘积
规格化：调整结果到标准格式
舍入：根据舍入模式处理精度

运算优化

并行运算

SIMD 指令：单指令多数据
向量运算：同时处理多个数据
并行算法：多个运算单元协同工作

流水线技术

运算流水线：将运算分解为多个阶段
指令流水线：重叠执行多条指令
超标量技术：同时发射多条指令

缓存优化

数据局部性：利用时间和空间局部性
预取技术：提前加载可能需要的数据
写缓冲：减少写操作的延迟

性能指标

运算速度

MIPS：每秒百万条指令
FLOPS：每秒浮点运算次数
延迟：单个运算的完成时间

精度控制

舍入模式：向零、向无穷、向最近等
精度损失：运算过程中的精度变化
误差分析：累积误差的估计

实际应用

科学计算

大规模矩阵运算
数值积分和微分
信号处理和图像处理

金融计算

高精度数值计算
风险评估和建模
实时交易系统

图形处理

3D 图形渲染
物理模拟
游戏引擎计算