练习题

数制转换

1. 将十进制数 123 转换为二进制、八进制和十六进制

解答：

转换为二进制：

123 ÷ 2 = 61 余 1
61 ÷ 2 = 30 余 1
30 ÷ 2 = 15 余 0
15 ÷ 2 = 7 余 1
7 ÷ 2 = 3 余 1
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1

从下往上读：123₁₀ = 1111011₂

转换为八进制：

123 ÷ 8 = 15 余 3
15 ÷ 8 = 1 余 7
1 ÷ 8 = 0 余 1

从下往上读：123₁₀ = 173₈

转换为十六进制：

123 ÷ 16 = 7 余 11 (B)
7 ÷ 16 = 0 余 7

从下往上读：123₁₀ = 7B₁₆

答案： 123₁₀ = 1111011₂ = 173₈ = 7B₁₆

2. 将二进制数 11010101 转换为十进制

解答：

使用位权展开法：

11010101₂ = 1×2⁷ + 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
           = 1×128 + 1×64 + 0×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1
           = 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
           = 213

答案： 11010101₂ = 213₁₀

补码运算

3. 用8位补码表示 -45，并计算 -45 + 23

解答：

步骤 1：求 -45 的 8 位补码

45 的二进制表示：00101101
求反码：11010010
加 1 得到补码：11010011

步骤 2：求 23 的 8 位补码

23 的二进制表示：00010111（正数补码等于原码）

步骤 3：相加

  11010011 (-45)
+ 00010111 (23)
= 11101010

步骤 4：判断结果

最高位为 1，表示负数
求补码的绝对值：00010110 = 22
所以结果是 -22

验证： -45 + 23 = -22 ✓

答案： -45 的 8 位补码是 11010011，-45 + 23 = -22

4. 判断8位补码运算 100 + 50 是否溢出

解答：

步骤 1：转换为 8 位补码

100 的 8 位补码：01100100
50 的 8 位补码：00110010

步骤 2：相加

  01100100 (100)
+ 00110010 (50)
= 10010110

步骤 3：分析溢出

两个正数相加得到负数（最高位为 1）
这是符号位溢出，表示发生了溢出

步骤 4：验证

100 + 50 = 150
8 位有符号数范围是 -128 到 127
150 超出了这个范围，确实溢出

答案： 发生溢出，因为两个正数相加得到负数

浮点数表示

5. 将十进制数 12.375 转换为IEEE 754单精度浮点数

解答：

步骤 1：转换为二进制

整数部分：12 = 1100₂
小数部分：0.375 × 2 = 0.75 → 0
0.75 × 2 = 1.5 → 1
0.5 × 2 = 1.0 → 1
所以 0.375 = 0.011₂
12.375 = 1100.011₂

步骤 2：规格化

1100.011₂ = 1.100011₂ × 2³
尾数：100011（去掉隐含的 1）
指数：3 + 127 = 130 = 10000010₂

步骤 3：组合

符号位：0（正数）
指数位：10000010
尾数位：10001100000000000000000
结果：0 10000010 10001100000000000000000

答案： 0 10000010 10001100000000000000000

6. 将IEEE 754单精度浮点数 0x42280000 转换为十进制

解答：

步骤 1：转换为二进制

0x42280000 = 01000010 00101000 00000000 00000000

步骤 2：分解

符号位：0（正数）
指数位：10000100 = 132
尾数位：01010000000000000000000

步骤 3：计算

实际指数：132 - 127 = 5
尾数：1.0101₂（加上隐含的 1）
数值：1.0101₂ × 2⁵ = 101010₂ = 42₁₀

答案： 42.0

逻辑运算

7. 化简逻辑表达式 F = A’B + AB’ + AB

解答：

步骤 1：使用分配律

F = A'B + AB' + AB
  = A'B + A(B' + B)

步骤 2：使用互补律

B' + B = 1
F = A'B + A(1)
F = A'B + A

步骤 3：使用分配律

F = A'B + A
  = A'B + A(1)
  = A'B + A(B + B')
  = A'B + AB + AB'
  = (A' + A)B + AB'
  = B + AB'

步骤 4：进一步化简

F = B + AB'
  = B + AB'
  = B + AB' + BB'  (B = B + BB')
  = B + (A + B)B'
  = B + B'  (因为 A + B = 1)
  = 1

答案： F = 1（恒真）

8. 设计一个3位二进制数的奇偶校验电路

解答：

步骤 1：定义输入输出

输入：3 位二进制数 A₂A₁A₀
输出：奇偶校验位 P

步骤 2：真值表

A₂	A₁	A₀	P
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

步骤 3：逻辑表达式

P = A₂ ⊕ A₁ ⊕ A₀

步骤 4：电路实现 使用两个异或门：

第一个异或门：A₂ ⊕ A₁
第二个异或门：(A₂ ⊕ A₁) ⊕ A₀

答案： P = A₂ ⊕ A₁ ⊕ A₀

算术运算

9. 使用Booth算法计算 7 × (-3)

解答：

步骤 1：转换为二进制

7 = 0111₂
-3 的 8 位补码：11111101

步骤 2：扩展乘数

7 = 00000111₂（8 位）
添加符号位：00000111₂

步骤 3：Booth 算法

初始：A = 00000000, Q = 00000111, Q₋₁ = 0

步骤1：Q₀Q₋₁ = 10，A = A - M = 00000000 - 11111101 = 00000011
        右移：A = 00000001, Q = 10000011, Q₋₁ = 1

步骤2：Q₀Q₋₁ = 11，无操作
        右移：A = 00000000, Q = 11000001, Q₋₁ = 1

步骤3：Q₀Q₋₁ = 11，无操作
        右移：A = 00000000, Q = 11100000, Q₋₁ = 1

步骤4：Q₀Q₋₁ = 01，A = A + M = 00000000 + 11111101 = 11111101
        右移：A = 11111110, Q = 01110000, Q₋₁ = 0

步骤5：Q₀Q₋₁ = 00，无操作
        右移：A = 01111111, Q = 00111000, Q₋₁ = 0

步骤6：Q₀Q₋₁ = 00，无操作
        右移：A = 00111111, Q = 10011100, Q₋₁ = 0

步骤7：Q₀Q₋₁ = 10，A = A - M = 00111111 - 11111101 = 01000010
        右移：A = 00100001, Q = 11001110, Q₋₁ = 0

步骤8：Q₀Q₋₁ = 00，无操作
        右移：A = 00010000, Q = 11100111, Q₋₁ = 0

步骤 4：结果

最终 A = 00010000, Q = 11100111
结果：0001000011100111₂ = 11100111₂ = -21₁₀

验证： 7 × (-3) = -21 ✓

答案： 7 × (-3) = -21

10. 设计一个4位全加器

解答：

步骤 1：定义输入输出

输入：A₃A₂A₁A₀, B₃B₂B₁B₀, C_in
输出：S₃S₂S₁S₀, C_out

步骤 2：单个全加器

S_i = A_i ⊕ B_i ⊕ C_i
C_{i+1} = A_iB_i + (A_i ⊕ B_i)C_i

步骤 3：4 位全加器连接

FA0: S₀ = A₀ ⊕ B₀ ⊕ C_in, C₁ = A₀B₀ + (A₀ ⊕ B₀)C_in
FA1: S₁ = A₁ ⊕ B₁ ⊕ C₁, C₂ = A₁B₁ + (A₁ ⊕ B₁)C₁
FA2: S₂ = A₂ ⊕ B₂ ⊕ C₂, C₃ = A₂B₂ + (A₂ ⊕ B₂)C₂
FA3: S₃ = A₃ ⊕ B₃ ⊕ C₃, C_out = A₃B₃ + (A₃ ⊕ B₃)C₃

步骤 4：电路图

A₃ ──┐    A₂ ──┐    A₁ ──┐    A₀ ──┐
B₃ ──┤    B₂ ──┤    B₁ ──┤    B₀ ──┤
C₃ ──┘    C₂ ──┘    C₁ ──┘    C_in ─┘
 │         │         │         │
 │         │         │         │
FA3       FA2       FA1       FA0
 │         │         │         │
 │         │         │         │
S₃        S₂        S₁        S₀
 │
C_out

答案： 使用 4 个全加器级联，每个全加器处理一位，进位信号连接相邻位

综合应用题

11. 设计一个简单的ALU，支持加法、减法、与运算、或运算

解答：

步骤 1：定义输入输出

输入：A[3:0], B[3:0], OP[1:0]
输出：RESULT[3:0], ZERO, CARRY

步骤 2：操作码定义

OP = 00：加法
OP = 01：减法
OP = 10：与运算
OP = 11：或运算

步骤 3：逻辑设计

// 加法器
ADD_RESULT = A + B
CARRY = (A + B) > 15

// 减法器
SUB_RESULT = A - B
CARRY = A < B

// 逻辑运算
AND_RESULT = A & B
OR_RESULT = A | B

// 多路选择器
RESULT = OP[1] ? (OP[0] ? OR_RESULT : AND_RESULT)
                : (OP[0] ? SUB_RESULT : ADD_RESULT)

// 零标志
ZERO = (RESULT == 0)

步骤 4：电路实现

A[3:0] ──┐
B[3:0] ──┤
OP[1:0] ─┤
          │
    ┌─────┴─────┐
    │  4位加法器 │
    └─────┬─────┘
          │
    ┌─────┴─────┐
    │  4位减法器 │
    └─────┬─────┘
          │
    ┌─────┴─────┐
    │  逻辑运算  │
    └─────┬─────┘
          │
    ┌─────┴─────┐
    │ 4:1多路器 │
    └─────┬─────┘
          │
    ┌─────┴─────┐
    │  零检测器  │
    └─────┬─────┘
          │
       RESULT[3:0]
       ZERO
       CARRY

答案： 使用加法器、减法器、逻辑运算单元和多路选择器组合实现

12. 分析浮点数运算的精度问题

解答：

步骤 1：精度损失原因

二进制无法精确表示某些十进制小数
规格化过程中的舍入误差
运算过程中的累积误差

步骤 2：示例分析

0.1₁₀ = 0.0001100110011...₂（无限循环）
在单精度浮点数中只能存储有限位，造成精度损失

步骤 3：误差累积

0.1 + 0.1 + 0.1 ≠ 0.3
因为每个0.1都有舍入误差，累积后误差增大

步骤 4：解决方案

使用更高精度的数据类型（双精度）
采用特殊的数值算法（如 Kahan 求和）
在关键计算中使用定点数
进行误差分析和控制

答案： 浮点数运算存在精度问题，需要采用适当的算法和数据类型来减少误差