多项式函数

多项式函数是最基本的连续函数类型，在微积分中具有重要地位。理解多项式函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

多项式函数具有以下基本性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$（全体实数）
• 连续性：在定义域内处处连续
• 图像特征：平滑的曲线，无跳跃或断裂
• 可导性：在定义域内处处可导

多项式函数的定义

多项式函数的定义

形如 $f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 的函数称为多项式函数，其中 $a_n, a_{n - 1}, \ldots, a_0$ 为常数，$n$ 为非负整数。

常见多项式函数

1. 一次函数（线性函数）

形式：$f(x) = ax + b$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = 2x + 1$

性质：

• 图像是一条直线
• 斜率为 $a$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

2. 二次函数

形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = x^2 + 2x + 1$

性质：

• 图像是一条抛物线
• 当 $a > 0$ 时开口向上，当 $a < 0$ 时开口向下
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

3. 三次函数

形式：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = x^3 - 3x + 2$

性质：

• 图像是一条三次曲线
• 可能有局部极值点
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

多项式函数的连续性证明

理论基础

多项式函数的连续性基于以下事实：

1. 常数函数连续：$f(x) = c$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 幂函数连续：$f(x) = x^n$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 连续函数的和、差、积连续

证明思路

设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

1. 每个幂函数 $x^k$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 常数倍 $a_k x^k$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 有限个连续函数的和在 $\mathbb{R}$ 上连续
4. 因此多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上连续

多项式函数的图像特征

可视化示例

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路：多项式函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ 是多项式函数
2. 多项式函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路：多项式函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ 是二次多项式函数
2. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
3. 因此 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

练习 3

设 $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$，求 $f(x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路：多项式函数的连续区间就是其定义域。

详细步骤：

1. $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$ 是四次多项式函数
2. 多项式函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此连续区间为 $\mathbb{R}$

答案：连续区间为 $\mathbb{R}$。

练习 4

设 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数。若 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，求 $a + b + c$ 的值。

参考答案

解题思路：多项式函数在任意点处都连续，因此条件 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续对 $a, b, c$ 没有限制。

详细步骤：

1. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
2. 因此 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续对 $a, b, c$ 没有限制
3. $a + b + c$ 可以是任意实数

答案：$a + b + c$ 可以是任意实数。

练习 5

判断函数 $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：多项式函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x$ 是五次多项式函数
2. 多项式函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 6

改编自 2025 考研数学一第 1 题

已知函数 $f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$，其中 $a, b$ 为常数。若 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，求 $b$ 的值。

参考答案

解题思路： 多项式函数在定义域内处处连续，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续等价于 $f(0)$ 存在且等于极限。

详细步骤：

1. $f(0) = b$
2. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续，$f(0)$ 必然存在
3. 因此 $b$ 可以为任意实数

答案：$b$ 可以为任意实数。

练习 7

改编自 2023 考研数学一填空题

判断函数 $f(x) = x^4 - 4x^2 + 3$ 在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处的连续性，并说明理由。

参考答案

解题思路： 多项式函数在其定义域内处处连续，直接代入即可。

详细步骤：

1. $f(x)$ 是四次多项式函数，定义域为 $\mathbb{R}$
2. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
3. $x=1$ 和 $x=-1$ 都属于定义域

答案：$f(x)$ 在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处都连续。

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，多项式函数的定义域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
多项式函数	polynomial function	/pɒlɪˈnəʊmiəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ 的函数
一次函数	linear function	/ˈlɪniə ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = ax + b$ 的函数
二次函数	quadratic function	/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数
三次函数	cubic function	/ˈkjuːbɪk ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的函数
实数集	real numbers	/riːl ˈnʌmbəz/	所有实数的集合，记作 $\mathbb{R}$
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	函数的自变量取值范围
连续性	continuity	/kɒntɪˈnjuːəti/	函数在某点没有跳跃或断裂的性质

下一章节 有理函数