函数的间断点

函数的间断点是连续性理论中的重要概念。理解间断点的分类和性质对于掌握函数的连续性具有重要意义。

间断点的定义

间断点的定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，如果函数在 $x_0$ 点不连续，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点。

间断点的判定

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点不连续，当且仅当以下条件之一成立：

1. $f(x_0)$ 不存在（函数在该点无定义）
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$（极限存在但不等于函数值）

本章内容

本章将介绍间断点的分类和判定方法：

1. 第一类间断点

介绍第一类间断点的定义和特征，包括可去间断点和跳跃间断点。

2. 第二类间断点

介绍第二类间断点的定义和特征，以及常见的第二类间断点例子。

3. 间断点的判定方法

介绍判定间断点类型的各种方法，包括定义法、左右极限法和图像法。

4. 常见间断点例子

通过具体例子展示各种类型的间断点，包括有理函数、分段函数、三角函数和指数函数的间断点。

5. 间断点的处理

介绍如何处理不同类型的间断点，包括可去间断点的处理和跳跃间断点的分析。

学习目标

通过本章的学习，你将能够：

• 理解间断点的定义和判定条件
• 掌握间断点的分类方法
• 能够判定函数在某点的间断点类型
• 了解如何处理不同类型的间断点

章节

• 第一类间断点
• 第二类间断点
• 间断点的判定方法

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