初等函数的定义与分类

初等函数的定义

初等函数的定义

初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数。

分类

1. 代数函数：只包含代数运算（加、减、乘、除、开方）的函数
2. 超越函数：包含超越运算（指数、对数、三角函数）的函数

代数函数例子

• 多项式函数 $f(x) = x^3 - 2x + 1$
• 有理函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$
• 无理函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

超越函数例子

• 指数函数 $f(x) = e^x$
• 对数函数 $f(x) = \ln x$
• 三角函数 $f(x) = \sin x$
• 复合函数 $f(x) = e^{\sin x}$

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习题

习题 1

判断下列函数哪些是初等函数：$y = x^2$，$y = \sin x$，$y = \ln x$，$y = \Gamma(x)$。

答案与解析

$y = x^2$、$y = \sin x$、$y = \ln x$ 是初等函数，$y = \Gamma(x)$ 不是（伽马函数为特殊函数）。

习题 2

下列函数中哪些属于代数函数：$y = \sqrt{x}$，$y = e^x$，$y = \frac{x^2+1}{x-1}$，$y = \sin x$。

答案与解析

$y = \sqrt{x}$、$y = \frac{x ^ (2 + 1)} {x - 1}$ 是代数函数，$y = e^x$、$y = \sin x$ 不是。

习题 3

下列函数中哪些属于超越函数：$y = x^3$，$y = \ln x$，$y = \sin x$，$y = \sqrt{x}$。

答案与解析

$y = \ln x$、$y = \sin x$ 是超越函数，$y = x^3$、$y = \sqrt{x}$ 不是。

习题 4

判断 $y = e^{\sin x}$ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析

属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。

习题 5

判断 $y = \sqrt{x^2 + 1}$ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析

属于代数函数，因为只涉及代数运算和开方。

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考研真题

真题 1

【2020·数学一】下列函数中，哪些是超越函数？
(A) $y = x^2$
(B) $y = \sin x$
(C) $y = \ln x$
(D) $y = \sqrt{x}$

答案与解析

(B)、(C) 是超越函数，(A)、(D) 不是。

真题 2

【2018·数学二】判断 $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ 是否为代数函数，并说明理由。

答案与解析

是代数函数，因为它只涉及加、减、乘、除等代数运算。

真题 3

【2016·数学一】判断 $y = e^{\sin x}$ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析

属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$\Gamma(x)$	数学符号	Gamma of x	伽马函数，特殊函数，不属于初等函数
$e^x$	数学符号	e to the power x	自然指数函数
$\ln x$	数学符号	natural log of x	自然对数函数
$\sin x$	数学符号	sine of x	正弦函数
$e^{\sin x}$	数学符号	e to the power sine x	指数函数和三角函数的复合函数
$\sqrt{x}$	数学符号	square root of x	平方根函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
初等函数	elementary function	/ˌelɪˈmentəri ˈfʌŋkʃən/	由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数
基本初等函数	basic elementary function	/ˈbeɪsɪk ˌelɪˈmentəri ˈfʌŋkʃən/	幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等
代数函数	algebraic function	/ældʒɪˈbreɪɪk ˈfʌŋkʃən/	只包含代数运算（加、减、乘、除、开方）的函数
超越函数	transcendental function	/trænsenˈdentəl ˈfʌŋkʃən/	包含超越运算（指数、对数、三角函数）的函数
四则运算	four arithmetic operations	/fɔː əˈrɪθmətɪk ˌɒpəˈreɪʃənz/	加、减、乘、除四种基本运算
复合运算	composition operation	/ˌkɒmpəˈzɪʃən ˌɒpəˈreɪʃən/	函数的复合运算
多项式函数	polynomial function	/ˌpɒlɪˈnəʊmiəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 的函数
有理函数	rational function	/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/	两个多项式函数的商
无理函数	irrational function	/ɪˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/	包含根式的函数
伽马函数	gamma function	/ˈɡæmə ˈfʌŋkʃən/	特殊函数，不属于初等函数

下一章节 幂函数 详细讲解幂函数的定义、性质、图像及典型习题。