初等函数的定义与分类

初等函数的定义

初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数。

分类

1. 代数函数：只包含代数运算（加、减、乘、除、开方）的函数
2. 超越函数：包含超越运算（指数、对数、三角函数）的函数

代数函数例子

• 多项式函数 $f(x) = x^3 - 2x + 1$
• 有理函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$
• 无理函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

超越函数例子

• 指数函数 $f(x) = e^x$
• 对数函数 $f(x) = \ln x$
• 三角函数 $f(x) = \sin x$
• 复合函数 $f(x) = e^{\sin x}$

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习题

习题 1

判断下列函数哪些是初等函数：$y = x^2$，$y = \sin x$，$y = \ln x$，$y = \Gamma(x)$。

答案与解析

$y = x^2$、$y = \sin x$、$y = \ln x$ 是初等函数，$y = \Gamma(x)$ 不是（伽马函数为特殊函数）。

习题 2

下列函数中哪些属于代数函数：$y = \sqrt{x}$，$y = e^x$，$y = \frac{x^2+1}{x-1}$，$y = \sin x$。

答案与解析

$y = \sqrt{x}$、$y = \frac{x ^ (2 + 1)} {x - 1}$ 是代数函数，$y = e^x$、$y = \sin x$ 不是。

习题 3

下列函数中哪些属于超越函数：$y = x^3$，$y = \ln x$，$y = \sin x$，$y = \sqrt{x}$。

答案与解析

$y = \ln x$、$y = \sin x$ 是超越函数，$y = x^3$、$y = \sqrt{x}$ 不是。

习题 4

判断 $y = e^{\sin x}$ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析

属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。

习题 5

判断 $y = \sqrt{x^2 + 1}$ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析

属于代数函数，因为只涉及代数运算和开方。

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考研真题

真题 1

【2020·数学一】下列函数中，哪些是超越函数？
(A) $y = x^2$
(B) $y = \sin x$
(C) $y = \ln x$
(D) $y = \sqrt{x}$

答案与解析

(B)、(C) 是超越函数，(A)、(D) 不是。

真题 2

【2018·数学二】判断 $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ 是否为代数函数，并说明理由。

答案与解析

是代数函数，因为它只涉及加、减、乘、除等代数运算。

真题 3

【2016·数学一】判断 $y = e^{\sin x}$ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析

属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。