指数函数

指数函数的定义

指数函数的定义

指数函数是指形如 $y = a^x$ 的函数，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。

为什么 $a$ 必须为正数且不等于 1？

1. 保证函数值有意义且为实数：当 $a > 0$ 时，无论 $x$ 是正数、负数还是分数，$a^x$ 都有明确的实数值。若 $a < 0$，如 $(-2)^{1/2}$，结果为虚数，不适合初等函数讨论。
2. 保证函数的连续性和单调性：$a > 0$ 时，$y = a^x$ 在整个实数范围内是连续且单调的。$a < 0$ 时，函数图像会出现断裂。
3. 保证对数函数的定义：指数函数的反函数是对数函数，只有 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 时对数函数才有良好定义。
4. $a = 1$ 的特殊性：$a = 1$ 时，$y = 1^x = 1$，是常数函数，没有指数变化特性。

因此，指数函数 $y = a^x$ 要求 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，以保证其数学意义和良好性质。

性质与图像

• 定义域为 $\mathbb{R}$
• 值域为 $(0, +\infty)$
• 当 $a > 1$ 时，函数单调递增
• 当 $0 < a < 1$ 时，函数单调递减
• 图像过点 $(0, 1)$
• 以 $x$ 轴为渐近线

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习题

习题 1

已知指数函数 $y = 2^x$，求其定义域和值域。

答案与解析

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$(0, +\infty)$。

习题 2

判断下列函数中哪些是指数函数：$y = 3^x$，$y = x^3$，$y = 2^{-x}$，$y = e^x$。

答案与解析

$y = 3^x$、$y = 2^{-x}$、$y = e^x$ 是指数函数，$y = x^3$ 不是。

习题 3

画出 $y = 2^x$ 和 $y = (1/2)^x$ 的大致图像，并比较它们的单调性。

答案与解析

$y = 2^x$ 单调递增，$y = (1/2)^x$ 单调递减。

习题 4

已知 $y = a^x$，$a > 1$，判断其在 $x$ 轴上的渐近线。

答案与解析

$x$ 轴（$y=0$）为其渐近线。

习题 5

判断 $y = (-2)^x$ 是否为指数函数，并说明理由。

答案与解析

不是。指数函数的底数 $a$ 必须大于 0 且不等于 1。

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考研真题

真题 1

【2020·数学一】已知 $y = a^x$，$a > 1$，若 $y(0) = 1$，$y(1) = 3$，求 $a$ 的值。

答案与解析

$y(1) = a^1 = 3$，所以 $a = 3$。

真题 2

【2018·数学二】下列函数中，哪些是指数函数？
(A) $y = 2^x$
(B) $y = x^2$
(C) $y = e^x$
(D) $y = 2^{-x}$

答案与解析

(A)、(C)、(D) 是指数函数，(B) 不是。

真题 3

【2016·数学一】已知 $y = a^x$，$0 < a < 1$，则 $y$ 的单调性如何？

答案与解析

$y$ 单调递减。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a^x$	数学符号	a to the power x	指数函数的一般形式
$a$	数学符号	a	指数函数的底数，必须大于 0 且不等于 1
$x$	数学符号	x	指数函数的指数
$e^x$	数学符号	e to the power x	自然指数函数，以 $e$ 为底
$e$	数学符号	e	自然常数，约等于 2.718
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合
$(0, +\infty)$	数学符号	开区间	左开右无穷区间

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
指数函数	exponential function	/ɪkspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $y = a^x$ 的函数，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$
底数	base	/beɪs/	指数函数中的 $a$，必须大于 0 且不等于 1
指数	exponent	/ɪkˈspəʊnənt/	指数函数中的 $x$，表示幂次
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
单调递增	monotonically increasing	/mɒnəˈtɒnɪkli ɪnˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而增大
单调递减	monotonically decreasing	/mɒnəˈtɒnɪkli dɪˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而减小
渐近线	asymptote	/ˈæsɪmptəʊt/	函数图像无限接近但不相交的直线

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