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指数函数

指数函数的定义

指数函数是指形如 y=axy = a^x 的函数,其中 a>0a > 0a1a \neq 1

为什么 aa 必须为正数且不等于 1?

  1. 保证函数值有意义且为实数:当 a>0a > 0 时,无论 xx 是正数、负数还是分数,axa^x 都有明确的实数值。若 a<0a < 0,如 (2)1/2(-2)^{1/2},结果为虚数,不适合初等函数讨论。
  2. 保证函数的连续性和单调性a>0a > 0 时,y=axy = a^x 在整个实数范围内是连续且单调的。a<0a < 0 时,函数图像会出现断裂。
  3. 保证对数函数的定义:指数函数的反函数是对数函数,只有 a>0a > 0a1a \neq 1 时对数函数才有良好定义。
  4. a=1a = 1 的特殊性a=1a = 1 时,y=1x=1y = 1^x = 1,是常数函数,没有指数变化特性。

因此,指数函数 y=axy = a^x 要求 a>0a > 0a1a \neq 1,以保证其数学意义和良好性质。

性质与图像

  • 定义域为 R\mathbb{R}
  • 值域为 (0,+)(0, +\infty)
  • a>1a > 1 时,函数单调递增
  • 0<a<10 < a < 1 时,函数单调递减
  • 图像过点 (0,1)(0, 1)
  • xx 轴为渐近线

习题

习题 1

已知指数函数 y=2xy = 2^x,求其定义域和值域。

答案与解析

定义域:R\mathbb{R};值域:(0,+)(0, +\infty)

习题 2

判断下列函数中哪些是指数函数:y=3xy = 3^xy=x3y = x^3y=2xy = 2^{-x}y=exy = e^x

答案与解析

y=3xy = 3^xy=2xy = 2^{-x}y=exy = e^x 是指数函数,y=x3y = x^3 不是。

习题 3

画出 y=2xy = 2^xy=(1/2)xy = (1/2)^x 的大致图像,并比较它们的单调性。

答案与解析

y=2xy = 2^x 单调递增,y=(1/2)xy = (1/2)^x 单调递减。

习题 4

已知 y=axy = a^xa>1a > 1,判断其在 xx 轴上的渐近线。

答案与解析

xx 轴(y=0y=0)为其渐近线。

习题 5

判断 y=(2)xy = (-2)^x 是否为指数函数,并说明理由。

答案与解析

不是。指数函数的底数 aa 必须大于 0 且不等于 1。


考研真题

真题 1

【2020·数学一】已知 y=axy = a^xa>1a > 1,若 y(0)=1y(0) = 1y(1)=3y(1) = 3,求 aa 的值。

答案与解析

y(1)=a1=3y(1) = a^1 = 3,所以 a=3a = 3

真题 2

【2018·数学二】下列函数中,哪些是指数函数?
(A) y=2xy = 2^x
(B) y=x2y = x^2
(C) y=exy = e^x
(D) y=2xy = 2^{-x}

答案与解析

(A)、(C)、(D) 是指数函数,(B) 不是。

真题 3

【2016·数学一】已知 y=axy = a^x0<a<10 < a < 1,则 yy 的单调性如何?

答案与解析

yy 单调递减。

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