指数函数
指数函数的定义
指数函数是指形如 的函数,其中 且 。
为什么 必须为正数且不等于 1?
- 保证函数值有意义且为实数:当 时,无论 是正数、负数还是分数, 都有明确的实数值。若 ,如 ,结果为虚数,不适合初等函数讨论。
- 保证函数的连续性和单调性: 时, 在整个实数范围内是连续且单调的。 时,函数图像会出现断裂。
- 保证对数函数的定义:指数函数的反函数是对数函数,只有 且 时对数函数才有良好定义。
- 的特殊性: 时,,是常数函数,没有指数变化特性。
因此,指数函数 要求 且 ,以保证其数学意义和良好性质。
性质与图像
- 定义域为
- 值域为
- 当 时,函数单调递增
- 当 时,函数单调递减
- 图像过点
- 以 轴为渐近线
习题
习题 1
已知指数函数 ,求其定义域和值域。
答案与解析
定义域:;值域:。
习题 2
判断下列函数中哪些是指数函数:,,,。
答案与解析
、、 是指数函数, 不是。
习题 3
画出 和 的大致图像,并比较它们的单调性。
答案与解析
单调递增, 单调递减。
习题 4
已知 ,,判断其在 轴上的渐近线。
答案与解析
轴()为其渐近线。
习题 5
判断 是否为指数函数,并说明理由。
答案与解析
不是。指数函数的底数 必须大于 0 且不等于 1。
考研真题
真题 1
【2020·数学一】已知 ,,若 ,,求 的值。
答案与解析
,所以 。
真题 2
【2018·数学二】下列函数中,哪些是指数函数?
(A)
(B)
(C)
(D)
答案与解析
(A)、(C)、(D) 是指数函数,(B) 不是。
真题 3
【2016·数学一】已知 ,,则 的单调性如何?
答案与解析
单调递减。