幂函数

幂函数的定义

幂函数是指形如 $y = x^a$ 的函数，其中 $a$ 为常数。

负整数次幂的定义：

对于 $x \neq 0$，正整数 $n$，有：

$$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$$

即，负指数表示取倒数。

举例：

• $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$
• $x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$
• $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

性质与图像

• 当 $a > 0$ 时，函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
• 当 $a < 0$ 时，函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。
• 当 $a$ 为偶数时，函数为偶函数。
• 当 $a$ 为奇数时，函数为奇函数。

常见幂函数

恒等函数

恒等函数（Identity Function），是最基本的幂函数，对应 $a = 1$。它的图像是一条经过原点、斜率为 1 的直线，在整个实数范围内单调递增，是奇函数。

二次幂函数

是最常见的二次幂函数，对应 $a = 2$。其图像为开口向上的抛物线，关于 $y$ 轴对称，是偶函数。在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 时都单调递增。

三次幂函数

三次幂函数，对应 $a = 3$。图像在原点处有拐点，关于原点对称，是奇函数。在整个实数范围内单调递增。

反比例函数

反比例函数，对应 $a = -1$。其图像为双曲线，分布在第一、三象限。定义域为 $x \neq 0$，在 $x > 0$ 时单调递减，在 $x < 0$ 时单调递增。

平方根函数

$$y = \sqrt{x}$$

可以写作 $y = x^{1/2}$，对应 $a = 1/2$。定义域为 $x \geq 0$，图像在第一象限，随着 $x$ 增大缓慢上升。

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习题

习题 1

已知幂函数 $y = x^3$，求其定义域、值域，并判断其奇偶性。

答案与解析

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$\mathbb{R}$；$y = x^3$ 是奇函数。

习题 2

判断下列函数中哪些是幂函数：$y = 2x^2$，$y = 3^x$，$y = x^{-1}$，$y = \sqrt{x}$。

答案与解析

幂函数有 $y = 2x^2$、$y = x^{-1}$、$y = \sqrt{x}$（即 $y = x^{1 / 2}$）。$y = 3^x$ 不是幂函数。

习题 3

画出 $y = x^2$ 和 $y = x^3$ 的大致图像，并比较它们在 $x>0$ 和 $x<0$ 时的单调性。

答案与解析

$y = x^2$ 在 $x>0$ 和 $x<0$ 都递增，为偶函数；$y = x^3$ 在全体实数上递增，为奇函数。

习题 4

求 $y = x^{-2}$ 的定义域和值域。

答案与解析

定义域：$x \neq 0$；值域：$(0, +\infty)$。

习题 5

判断 $y = |x|$ 是否为幂函数，并说明理由。

答案与解析

不是幂函数。$|x|$ 不能表示为 $x^a$ 的形式，其中 $a$ 为常数。

习题 6

已知 $y = x^{1/3}$，求其图像关于原点的对称性。

答案与解析

$y = x^{1 / 3}$ 是奇函数，图像关于原点对称。

习题 7

求 $y = x^a$（$a>0$）在 $x>0$ 时的单调性。

答案与解析

在 $x>0$ 时，$y = x^a$ 单调递增。

习题 8

已知 $y = x^{-1}$，求其在 $x>0$ 和 $x<0$ 时的单调性。

答案与解析

在 $x>0$ 时，$y = x^{-1}$ 单调递减；在 $x<0$ 时，$y = x^{-1}$ 单调递增。

习题 9

判断 $y = x^0$ 是否为幂函数，并写出其表达式。

答案与解析

$y = x^0 = 1$（$x \neq 0$），是常数函数，也属于幂函数。

习题 10

已知 $y = x^a$，若 $a$ 为偶数，判断其奇偶性；若 $a$ 为奇数，判断其奇偶性。

答案与解析

$a$ 为偶数时，$y = x^a$ 为偶函数；$a$ 为奇数时，$y = x^a$ 为奇函数。

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考研真题

真题 1

【2021·数学一】已知函数 $f(x) = x^p$，其中 $p$ 为常数。若 $f(2) = 8$，$f(4) = 64$，则 $p$ 的值为多少？

答案与解析

由 $f(2) = 2^p = 8$，得 $p = 3$。验证 $f(4) = 4^3 = 64$，成立。

真题 2

【2019·数学二】下列函数中，哪些属于幂函数？
(A) $y = x^{1/2}$
(B) $y = 2^x$
(C) $y = x^{-3}$
(D) $y = \ln x$

答案与解析

(A) 和 (C) 属于幂函数，(B) 是指数函数，(D) 是对数函数。

真题 3

【2018·数学一】已知 $y = x^a$，若 $a < 0$，则该函数在 $(0, +\infty)$ 上的单调性为？

答案与解析

在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

真题 4

【2017·数学二】判断 $y = x^0$ 是否为幂函数，并说明理由。

答案与解析

$y = x^0 = 1$（$x \neq 0$），是常数函数，也属于幂函数。

真题 5

【2016·数学一】已知 $y = x^a$，若 $a$ 为奇数，判断其图像的对称性。

答案与解析

为奇函数，图像关于原点对称。