黄金比例

在数学界，黄金比例 $\varphi$（phi，读作”费”）堪称”颜值担当”，不仅在几何、代数中大放异彩，还频频出现在艺术、建筑、自然界。让我们一起揭开黄金比例的神秘面纱！

定义

• 黄金比例是将一条线段分成两部分，使得全长与较长部分之比，等于较长部分与较短部分之比。
• 设线段全长为 $a+b$，较长部分为 $a$，较短部分为 $b$，则： $$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$$

方程

黄金分割方程 $x^2 = x + 1$ 的由来：

1. 设一条线段分为两段，较长一段为 $a$，较短一段为 $b$，全长为 $a + b$。
2. 黄金分割的定义是： $$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$$
3. 设比例 $x = \frac{a}{b}$，则 $a = x b$，$a + b = x b + b = (x+1) b$。
4. 代入定义式： $$\frac{a+b}{a} = \frac{(x+1)b}{x b} = \frac{x+1}{x} = x$$
5. 整理得 $x + 1 = x^2$，即 $x^2 = x + 1$。

解方程

解这个方程的步骤如下：

1. 方程为 $x^2 = x + 1$，移项得 $x^2 - x - 1 = 0$
2. 这是一个一元二次方程，使用求根公式： $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 其中 $a=1,\ b=-1,\ c=-1$
3. 代入得： $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
4. 因为黄金分割是正数，取正根：

$$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\ldots$$

代数性质

• $\varphi$ 满足方程 $x^2 = x + 1$。
• $\varphi$ 是无理数。
• $\varphi$ 的倒数很有趣： $$\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1$$
• $\varphi$ 的平方也很有趣： $$\varphi^2 = \varphi + 1$$

经典公式与斐波那契数列

• 斐波那契数列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
• 随着 $n$ 增大，$\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi$
• 斐波那契数列的通项公式： $$F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$

趣味事实

• 黄金比例被誉为”最美的比例”，在自然界（如向日葵花盘、贝壳、松果）、艺术（如蒙娜丽莎、帕特农神庙）、设计中频繁出现。
• 信用卡、名片、书籍的长宽比常常接近黄金比例。
• 人体的某些比例也接近 $\varphi$，比如肚脐到头顶与全身高度之比。
• $\varphi$ 的小数部分无限不循环。

数学意义与性质

• $\varphi$ 是无理数。
• $\varphi$ 满足 $\varphi^2 = \varphi + 1$，$\varphi - 1 = 1/\varphi$。
• 斐波那契数列与黄金比例密不可分。
• 黄金矩形、黄金螺线等几何图形都与 $\varphi$ 有关。

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习题

习题 1

写出黄金比例的定义和精确表达式。

答案与解析

定义：$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$；精确表达式：$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

习题 2

黄金比例满足什么代数方程？

答案与解析

$x^2 = x + 1$。

习题 3

斐波那契数列与黄金比例有何关系？

答案与解析

$\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi$，且通项公式 $F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$。

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考研真题

真题 1

【2022·数学一】下列哪个数是无理数？
(A) $\sqrt{2}$
(B) $\pi$
(C) $\varphi$
(D) 以上都是

答案与解析

(D) 以上都是。

真题 2

黄金比例的精确值是多少？

答案与解析

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。