函数的单调性

单调性

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 I 上有定义。

• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上严格单调递增。
• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上单调递增。
• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上严格单调递减。
• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) \geq f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上单调递减。

几何意义

• 单调递增函数的图像从左到右上升
• 单调递减函数的图像从左到右下降

例子

• $f(x) = x^2$ 在 $[0, +\infty)$ 上严格单调递增
• $f(x) = x^2$ 在 $(-\infty, 0]$ 上严格单调递减
• $f(x) = \sin x$ 在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上严格单调递增

判断方法

1. 定义法：直接利用单调性的定义进行判断
2. 导数法：对于可导函数，通过导数的符号判断单调性
   • 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 严格单调递增
   • 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 严格单调递减
   • 若 $f'(x) \geq 0$，则 $f(x)$ 单调递增
   • 若 $f'(x) \leq 0$，则 $f(x)$ 单调递减
3. 图像法：通过观察函数图像判断单调性

重要性质

• 单调函数的反函数存在且单调性相同
• 单调函数在区间端点处有极限
• 严格单调函数是一一对应的

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性。

参考答案

解题思路： 通过求导来判断函数的单调性。

详细步骤：

1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$
2. 分析导数的符号：
   • 当 $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$，函数严格单调递增
   • 当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数严格单调递减
   • 当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数严格单调递增

答案：函数在 $(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$ 上严格单调递增，在 $[-1, 1]$ 上严格单调递减。

练习 2

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性。

参考答案

解题思路： 通过求导来判断函数的单调性。

详细步骤：

1. 求导：$f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$
2. 分析导数的符号：
   • 当 $0 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数严格单调递减
   • 当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数严格单调递增

答案：函数在 $(0, 1]$ 上严格单调递减，在 $[1, +\infty)$ 上严格单调递增。