函数的性质

函数的性质

函数的性质是分析函数特征的重要工具，掌握这些性质有助于我们更好地理解和应用函数。

有界性

定义：若存在常数 M，使得对任意 $x \in D$，总有 $|f(x)| \leq M$，则称函数 $f(x)$ 在 D 上有界。

分类：

• 有上界：若存在常数 M，使得对任意 $x \in D$，总有 $f(x) \leq M$
• 有下界：若存在常数 m，使得对任意 $x \in D$，总有 $f(x) \geq m$
• 有界：既有上界又有下界

例子：

• $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界，因为 $|\sin x| \leq 1$
• $f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上有下界（0），但无上界
• $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无界

单调性

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 I 上有定义。

• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上严格单调递增。
• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上单调递增。
• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上严格单调递减。
• 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) \geq f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 I 上单调递减。

几何意义：

• 单调递增函数的图像从左到右上升
• 单调递减函数的图像从左到右下降

例子：

• $f(x) = x^2$ 在 $[0, +\infty)$ 上严格单调递增
• $f(x) = x^2$ 在 $(-\infty, 0]$ 上严格单调递减
• $f(x) = \sin x$ 在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上严格单调递增

周期性

定义：若存在一个不为零的常数 T，使得对于定义域内的任意 x，恒有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，T 称为它的一个周期。通常我们说的是最小正周期。

性质：

• 如果 T 是周期，那么 nT（n 为正整数）也是周期
• 周期函数的图像具有重复性
• 周期函数的定义域通常是无限集

常见周期函数：

• $\sin x$、$\cos x$：周期为 $2\pi$
• $\tan x$、$\cot x$：周期为 $\pi$
• $\sin^2 x$、$\cos^2 x$：周期为 $\pi$

例子：

• $f(x) = \sin(2x)$ 的周期为 $\pi$
• $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$ 的周期为 $6\pi$
• $f(x) = \sin x + \cos x$ 的周期为 $2\pi$

奇偶性

前提：函数的定义域关于原点对称。

定义：

• 偶函数：如果 $f(-x) = f(x)$，则 $f(x)$ 为偶函数，其图形关于 y 轴对称。
• 奇函数：如果 $f(-x) = -f(x)$，则 $f(x)$ 为奇函数，其图形关于原点对称。

几何特征：

• 偶函数的图像关于 y 轴对称
• 奇函数的图像关于原点对称

性质：

• 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
• 偶函数 × 奇函数 = 奇函数
• 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
• 偶函数 + 奇函数 = 一般函数（非奇非偶）

常见例子：

• 偶函数：$x^2$、$x^4$、$\cos x$、$|x|$
• 奇函数：$x$、$x^3$、$\sin x$、$\tan x$

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 + x$ 的奇偶性。

练习 2

求函数 $f(x) = \sin(2x) + \cos(3x)$ 的周期。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^3}$ 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性。