特殊函数

特殊函数

除了基本的函数类型外，还有一些特殊的函数形式，它们在数学分析和实际应用中具有重要意义。

复合函数

定义：若 $y = f(u)$，而 $u = g(x)$，则 $y = f[g(x)]$ 称为由 $f$ 和 $g$ 构成的复合函数，记作 $f \circ g$。

性质：

• 复合函数的定义域是使得 $g(x)$ 有定义且 $f(g(x))$ 有意义的 x 的集合
• 复合运算不满足交换律：$f \circ g \neq g \circ f$
• 复合运算满足结合律：$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$

例子：

• $f(x) = \sin(x^2)$ 是 $f(u) = \sin u$ 和 $g(x) = x^2$ 的复合
• $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ 是 $f(u) = e^u$ 和 $g(x) = \sqrt{x}$ 的复合

求复合函数定义域的方法：

1. 先求内层函数 $g(x)$ 的定义域
2. 再求外层函数 $f(u)$ 的定义域
3. 最后求使得 $g(x)$ 的值属于 $f(u)$ 定义域的 x 的范围

反函数

定义：若函数 $y = f(x)$ 是单调的，则它存在反函数，记作 $x = f^{-1}(y)$ 或 $y = f^{-1}(x)$。

性质：

• 原函数和反函数的图形关于直线 $y = x$ 对称
• 反函数的定义域是原函数的值域
• 反函数的值域是原函数的定义域
• $(f^{-1})^{-1} = f$（反函数的反函数是原函数）

求反函数的方法：

1. 从 $y = f(x)$ 中解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式
2. 将 $x$ 和 $y$ 互换，得到反函数的习惯表示法
3. 确定反函数的定义域（即原函数的值域）

例子：

• $y = x^2$（$x \geq 0$）的反函数是 $y = \sqrt{x}$
• $y = e^x$ 的反函数是 $y = \ln x$
• $y = \sin x$（$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$）的反函数是 $y = \arcsin x$

分段函数

定义：在定义域的不同部分，用不同的解析式来表示的函数。

特点：

• 定义域被分成若干个区间
• 每个区间对应一个解析式
• 在区间的分界点需要特别注意函数的连续性

例子：

注意事项：

• 分段函数在分界点的值要明确
• 分段函数可能在某些点不连续
• 分段函数的性质需要分段讨论

隐函数

定义：由方程 $F(x, y) = 0$ 所确定的函数关系。

特点：

• 不能直接解出 y 关于 x 的显式表达式
• 需要通过方程来确定函数关系
• 可能存在多个函数值对应同一个自变量值

例子：

• $x^2 + y^2 = 1$ 确定了一个隐函数
• $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定了一个隐函数

求导方法：

• 对等式两边关于 x 求导
• 利用链式法则处理 y 的导数
• 解出 $\frac{dy}{dx}$

参数函数

定义：由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ 确定的函数关系。

特点：

• 自变量和因变量都通过参数 t 表示
• 可以通过消参得到显式函数
• 在几何上表示曲线

例子：

• 圆的参数方程：$\begin{cases} x = r\cos t \\ y = r\sin t \end{cases}$
• 椭圆的参数方程：$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases}$

练习题

练习 1

求复合函数 $f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})$ 的定义域。

练习 2

求函数 $y = 2x + 1$ 的反函数。

练习 3

求隐函数 $x^2 + y^2 = 4$ 在点 $(1, \sqrt{3})$ 处的导数。