初等函数

初等函数

初等函数是数学分析中最基本和最重要的函数类型，它们构成了更复杂函数的基础。

基本初等函数

基本初等函数包括以下五类函数：

1. 幂函数

定义：$y = x^a$，其中 a 是常数。

性质：

• 当 a > 0 时，函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增
• 当 a < 0 时，函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递减
• 当 a 为偶数时，函数为偶函数
• 当 a 为奇数时，函数为奇函数

常见例子：

• $y = x$（一次函数）
• $y = x^2$（二次函数）
• $y = x^3$（三次函数）
• $y = \frac{1}{x}$（反比例函数）
• $y = \sqrt{x}$（平方根函数）

2. 指数函数

定义：$y = a^x$，其中 a > 0 且 a ≠ 1。

性质：

• 定义域为 $\mathbb{R}$
• 值域为 $(0, +\infty)$
• 当 a > 1 时，函数单调递增
• 当 0 < a < 1 时，函数单调递减
• 函数图像过点 (0, 1)
• 函数图像以 x 轴为渐近线

特殊例子：

• $y = e^x$（自然指数函数，e ≈ 2.71828）
• $y = 2^x$（以 2 为底的指数函数）
• $y = 10^x$（以 10 为底的指数函数）

3. 对数函数

定义：$y = \log_a x$，其中 a > 0 且 a ≠ 1。

性质：

• 定义域为 $(0, +\infty)$
• 值域为 $\mathbb{R}$
• 当 a > 1 时，函数单调递增
• 当 0 < a < 1 时，函数单调递减
• 函数图像过点 (1, 0)
• 函数图像以 y 轴为渐近线

特殊例子：

• $y = \ln x$（自然对数函数，以 e 为底）
• $y = \log_2 x$（以 2 为底的对数函数）
• $y = \log_{10} x$（常用对数函数）

重要公式：

• $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a(x^n) = n\log_a x$
• $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

4. 三角函数

基本三角函数：

正弦函数 $y = \sin x$：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$
• 周期：$2\pi$
• 奇函数

余弦函数 $y = \cos x$：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$
• 周期：$2\pi$
• 偶函数

正切函数 $y = \tan x$：

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（k 为整数）
• 值域：$\mathbb{R}$
• 周期：$\pi$
• 奇函数

余切函数 $y = \cot x$：

• 定义域：$x \neq k\pi$（k 为整数）
• 值域：$\mathbb{R}$
• 周期：$\pi$
• 奇函数

正割函数 $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}$：

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（k 为整数）
• 值域：$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
• 周期：$2\pi$
• 偶函数

余割函数 $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$：

• 定义域：$x \neq k\pi$（k 为整数）
• 值域：$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
• 周期：$2\pi$
• 奇函数

5. 反三角函数

反正弦函数 $y = \arcsin x$：

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• 单调递增

反余弦函数 $y = \arccos x$：

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[0, \pi]$
• 单调递减

反正切函数 $y = \arctan x$：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
• 单调递增
• 奇函数

反余切函数 $y = \text{arccot } x$：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$(0, \pi)$
• 单调递减

初等函数

定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

特点：

• 初等函数在其定义域内通常是连续的
• 初等函数的导数仍然是初等函数
• 初等函数的积分不一定是初等函数

例子：

• $f(x) = x^2 + 2x + 1$（多项式函数）
• $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$（有理函数）
• $f(x) = e^x \sin x$（指数函数与三角函数的乘积）
• $f(x) = \ln(x^2 + 1)$（对数函数与幂函数的复合）

初等函数的分类

1. 代数函数：只包含代数运算（加、减、乘、除、开方）的函数
2. 超越函数：包含超越运算（指数、对数、三角函数）的函数

代数函数例子：

• 多项式函数：$f(x) = x^3 - 2x + 1$
• 有理函数：$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$
• 无理函数：$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

超越函数例子：

• 指数函数：$f(x) = e^x$
• 对数函数：$f(x) = \ln x$
• 三角函数：$f(x) = \sin x$
• 复合函数：$f(x) = e^{\sin x}$

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = \ln(x^2 - 4)$ 的定义域。

练习 2

判断函数 $f(x) = e^x \cos x$ 的奇偶性。

练习 3

求函数 $f(x) = \arcsin(\frac{x}{2})$ 的定义域。