极限的基本概念

极限的基本概念

极限是微积分的灵魂，描述了函数值在一个点附近的变化趋势。理解极限概念是学习微积分的基础。

极限的定义

函数极限

定义：当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 趋向于 $A$，记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。

几何意义：函数图像在 $x_0$ 附近无限接近 $y = A$ 这条水平线。

数列极限

定义：当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_n$ 趋向于 $A$，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有 $|x_n - A| < \varepsilon$。

例子：

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

左极限与右极限

左极限

定义：当 $x$ 从左侧趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限，记作 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$。

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $x_0 - \delta < x < x_0$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。

右极限

定义：当 $x$ 从右侧趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限，记作 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$。

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。

极限存在的充要条件

定理：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在的充要条件是其左、右极限都存在且相等。

即：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 当且仅当 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

例子：

• 函数 $f(x) = \frac{|x|}{x}$ 在 $x = 0$ 处的左极限为 $-1$，右极限为 $1$，因此在该点极限不存在。

极限的性质

唯一性

性质：如果极限存在，则极限值是唯一的。

证明：假设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to x_0} f(x) = B$，则 $A = B$。

有界性

性质：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得 $f(x)$ 在该邻域内有界。

推论：如果函数在某点有极限，则在该点的某个邻域内函数有界。

保号性

性质：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得在该邻域内 $f(x) > 0$。

推论：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A < 0$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得在该邻域内 $f(x) < 0$。

极限的几何解释

函数极限的几何意义

• 当 $x$ 无限接近 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 无限接近常数 $A$
• 函数图像在 $x_0$ 附近”聚集”在 $y = A$ 这条水平线附近
• 无论从哪个方向接近 $x_0$，函数值都趋向于同一个值

数列极限的几何意义

• 数列的点在数轴上无限接近某个点 $A$
• 从某个项开始，所有项都落在 $A$ 的任意小邻域内
• 数列的”尾巴”越来越接近极限值

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的极限是否存在。

练习 2

证明数列 $x_n = \frac{n}{n+1}$ 的极限为 1。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的极限是否存在。