无穷小与无穷大

无穷小与无穷大

无穷小和无穷大是极限理论中的重要概念，它们在极限计算中起着关键作用。

无穷小的概念

定义

无穷小：若 $\lim f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 为无穷小量。

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x)| < \varepsilon$。

例子：

• 当 $x \to 0$ 时，$x$、$x^2$、$\sin x$ 都是无穷小
• 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n^2}$ 都是无穷小

无穷小的性质

1. 有限个无穷小的和仍是无穷小
2. 有限个无穷小的积仍是无穷小
3. 有界函数与无穷小的积仍是无穷小

无穷大的概念

定义

无穷大：若 $\lim f(x) = \infty$，则称 $f(x)$ 为无穷大量。

数学语言：对于任意给定的正数 $M$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x)| > M$。

例子：

• 当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x}$ 是无穷大
• 当 $x \to \infty$ 时，$x$、$x^2$、$e^x$ 都是无穷大

无穷大的分类

1. 正无穷大：$\lim f(x) = +\infty$
2. 负无穷大：$\lim f(x) = -\infty$
3. 无穷大：$\lim f(x) = \infty$（包括正负无穷大）

无穷小与无穷大的关系

基本关系

定理：在同一过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

证明：

• 若 $\lim f(x) = \infty$，则 $\lim \frac{1}{f(x)} = 0$
• 若 $\lim f(x) = 0$ 且 $f(x) \neq 0$，则 $\lim \frac{1}{f(x)} = \infty$

例子

• 当 $x \to 0$ 时，$x$ 是无穷小，$\frac{1}{x}$ 是无穷大
• 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 是无穷小，$x$ 是无穷大

无穷小的比较

定义

设 $\lim \alpha(x) = 0$，$\lim \beta(x) = 0$，且 $\beta(x) \neq 0$，则：

1. 高阶无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，记作 $\alpha = o(\beta)$
2. 低阶无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \infty$，记作 $\beta = o(\alpha)$
3. 同阶无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = C \neq 0$，记作 $\alpha = O(\beta)$
4. 等价无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，记作 $\alpha \sim \beta$

比较的例子

当 $x \to 0$ 时：

• $x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小：$\lim \frac{x^2}{x} = 0$
• $x$ 是 $x^2$ 的低阶无穷小：$\lim \frac{x}{x^2} = \infty$
• $2x$ 与 $x$ 是同阶无穷小：$\lim \frac{2x}{x} = 2$
• $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小：$\lim \frac{\sin x}{x} = 1$

等价无穷小

定义

等价无穷小：如果 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

重要性质

1. 传递性：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$
2. 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$
3. 代换性：在求极限时，可以用等价无穷小进行代换

常用等价无穷小

当 $x \to 0$ 时：

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
• $e^x - 1 \sim x$
• $\ln(1 + x) \sim x$
• $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

等价无穷小的应用

代换原则：在求极限时，可以将复杂的无穷小用简单的等价无穷小替换。

例子：

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$

无穷小的阶

定义

如果 $\alpha \sim x^n$，则称 $\alpha$ 是 $n$ 阶无穷小。

例子

当 $x \to 0$ 时：

• $x$ 是一阶无穷小
• $x^2$ 是二阶无穷小
• $1 - \cos x$ 是二阶无穷小（因为 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$）

练习题

练习 1

判断当 $x \to 0$ 时，$x^3$ 与 $x^2$ 的关系。

练习 2

利用等价无穷小求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$。

练习 3

判断数列 $x_n = \frac{1}{n^2}$ 是否为无穷小数列。