极限的运算法则

极限的运算法则

极限的运算法则是计算极限的基础工具，掌握这些法则可以大大简化极限的计算过程。

基本运算法则

前提条件

设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，其中 $A$ 和 $B$ 都是有限数。

四则运算法则

1. 加法法则：$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

2. 乘法法则：$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

3. 除法法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（其中 $B \neq 0$）

4. 幂运算法则：$\lim [f(x)]^n = A^n$（其中 $n$ 为正整数）

证明思路

以加法法则为例：

证明：$\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

1. 由于 $\lim f(x) = A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时，$|f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$

2. 由于 $\lim g(x) = B$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时，$|g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2}$

3. 取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时： $|f(x) + g(x) - (A + B)| \leq |f(x) - A| + |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

4. 因此 $\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

特殊情况

无穷小的运算

1. 有限个无穷小的和仍是无穷小
2. 有限个无穷小的积仍是无穷小
3. 有界函数与无穷小的积仍是无穷小

无穷大的运算

1. 有限个无穷大的积仍是无穷大
2. 无穷大与有界函数的和仍是无穷大
3. 无穷大与无穷小的积需要具体分析

不定式

在极限计算中，以下情况称为不定式，需要特殊处理：

1. $\frac{0}{0}$ 型：分子分母都趋向于 0
2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型：分子分母都趋向于无穷大
3. $0 \cdot \infty$ 型：一个趋向于 0，一个趋向于无穷大
4. $\infty - \infty$ 型：两个都趋向于无穷大
5. $0^0$ 型：底数趋向于 0，指数趋向于 0
6. $\infty^0$ 型：底数趋向于无穷大，指数趋向于 0
7. $1^\infty$ 型：底数趋向于 1，指数趋向于无穷大

复合函数的极限

定理

设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{u \to A} g(u) = B$，且 $f(x) \neq A$（当 $x \neq x_0$ 时），则：

$\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = B$

例子

• $\lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \sin(0) = 0$
• $\lim_{x \to 1} e^{x-1} = e^0 = 1$

数列极限的运算法则

对于数列，运算法则与函数极限类似：

设 $\lim x_n = A$，$\lim y_n = B$，则：

1. $\lim(x_n \pm y_n) = A \pm B$
2. $\lim(x_n \cdot y_n) = A \cdot B$
3. $\lim\frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}$（其中 $B \neq 0$）

极限运算的注意事项

1. 条件检查

在使用运算法则之前，必须确保：

• 各个极限都存在
• 分母不为零（除法法则）
• 不出现不定式

2. 运算顺序

• 先求各个函数的极限
• 再进行四则运算
• 注意运算的优先级

3. 特殊情况处理

• 遇到不定式时，需要先化简或使用其他方法
• 无穷大与无穷小的运算需要具体分析
• 复合函数的极限需要检查条件

常见错误

1. 直接代入

错误：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0} = 0$

正确：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$（重要极限）

2. 忽略条件

错误：$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \frac{0}{0} = 1$

正确：$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$（但需要说明 $x \neq 0$）

3. 运算顺序错误

错误：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{x} = \frac{0 + 0}{0} = 0$

正确：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1$

练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x}$。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x}$。