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极限存在准则

极限存在准则

极限存在准则是判断极限是否存在的有力工具，特别是当直接计算极限比较困难时，这些准则显得尤为重要。

夹逼准则（Squeeze Theorem）

定理

如果在某点的邻域内，恒有 g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)，且 lim⁡g(x)=lim⁡h(x)=A\lim g(x) = \lim h(x) = A，则 lim⁡f(x)=A\lim f(x) = A。

几何意义

夹逼准则的几何意义是：如果函数 f(x)f(x) 被两个函数 g(x)g(x) 和 h(x)h(x) “夹住”，而这两个函数的极限都趋向于同一个值 AA，那么 f(x)f(x) 的极限也必然是 AA。

证明思路

  1. 由于 lim⁡g(x)=A\lim g(x) = A，对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ1>0\delta_1 > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ10 < |x - x_0| < \delta_1 时，∣g(x)−A∣<ε|g(x) - A| < \varepsilon

  2. 由于 lim⁡h(x)=A\lim h(x) = A，对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ2>0\delta_2 > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ20 < |x - x_0| < \delta_2 时，∣h(x)−A∣<ε|h(x) - A| < \varepsilon

  3. 取 δ=min⁡{δ1,δ2}\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}，则当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta 时：

    • A−ε<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+εA - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < A + \varepsilon
    • 因此 ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon

  4. 所以 lim⁡f(x)=A\lim f(x) = A

应用例子

例子 1：求 lim⁡x→0xsin⁡1x\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}

解：

  • 由于 −1≤sin⁡1x≤1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1，所以 −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
  • 而 lim⁡x→0(−∣x∣)=lim⁡x→0∣x∣=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0
  • 由夹逼准则，lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

例子 2：求 lim⁡x→0x2cos⁡1x\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}

解：

  • 由于 −1≤cos⁡1x≤1-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1，所以 −x2≤x2cos⁡1x≤x2-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2
  • 而 lim⁡x→0(−x2)=lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0
  • 由夹逼准则，lim⁡x→0x2cos⁡1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0

单调有界准则

定理

单调有界数列必有极限：如果数列 {xn}\{x_n\} 单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，则数列必有极限。

证明思路

以单调递增且有上界的情况为例：

  1. 由于数列有上界，根据确界原理，数列有上确界 M=sup⁡{xn}M = \sup\{x_n\}

  2. 对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 NN，使得 xN>M−εx_N > M - \varepsilon

  3. 由于数列单调递增，当 n>Nn > N 时，xn≥xN>M−εx_n \geq x_N > M - \varepsilon

  4. 又因为 MM 是上确界，所以 xn≤Mx_n \leq M

  5. 因此当 n>Nn > N 时，M−ε<xn≤M<M+εM - \varepsilon < x_n \leq M < M + \varepsilon，即 ∣xn−M∣<ε|x_n - M| < \varepsilon

  6. 所以 lim⁡xn=M\lim x_n = M

应用例子

例子 1：证明数列 xn=(1+1n)nx_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n 收敛

解：

  • 可以证明该数列单调递增且有上界
  • 因此数列收敛，其极限为 ee

例子 2：求数列 xn=nn+1x_n = \frac{n}{n+1} 的极限

解：

  • 数列单调递增：xn+1−xn=n+1n+2−nn+1=1(n+1)(n+2)>0x_{n+1} - x_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0
  • 数列有上界：xn=nn+1=1−1n+1<1x_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1
  • 由单调有界准则，数列收敛
  • 极限为 lim⁡n→∞nn+1=1\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1

柯西收敛准则

定理

数列 {xn}\{x_n\} 收敛的充要条件是：对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在正整数 NN，使得当 m,n>Nm, n > N 时，∣xm−xn∣<ε|x_m - x_n| < \varepsilon。

几何意义

柯西准则的几何意义是：如果数列收敛，那么从某一项开始，数列中任意两项的距离都可以任意小。

应用

柯西准则常用于证明数列的收敛性，特别是在无法直接求出极限的情况下。

其他重要准则

1. 子数列准则

如果数列 {xn}\{x_n\} 收敛于 AA，则其任意子数列也收敛于 AA。

逆否命题：如果存在两个子数列收敛于不同的极限，则原数列发散。

2. 有界性准则

收敛数列必有界。

逆否命题：无界数列必发散。

3. 保号性准则

如果 lim⁡xn=A>0\lim x_n = A > 0，则存在 NN，使得当 n>Nn > N 时，xn>0x_n > 0。

准则的选择

何时使用夹逼准则

  • 函数被其他函数”夹住”
  • 直接计算极限比较困难
  • 函数有振荡性质

何时使用单调有界准则

  • 数列有明显的单调性
  • 数列有界
  • 无法直接求出极限

何时使用柯西准则

  • 数列的单调性不明显
  • 需要证明收敛性但无法求出极限
  • 数列有复杂的递推关系

练习题

练习 1

利用夹逼准则求极限 lim⁡x→0x2sin⁡1x\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}。

参考答案

解题思路： 利用 sin⁡\sin 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

  1. 由于 −1≤sin⁡1x≤1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1，所以 −x2≤x2sin⁡1x≤x2-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2

  2. lim⁡x→0(−x2)=lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0

  3. 由夹逼准则，lim⁡x→0x2sin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0

答案：极限值为 0。

练习 2

证明数列 xn=n2+1n2+nx_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} 收敛并求其极限。

参考答案

解题思路： 先证明数列单调递减且有下界，然后求极限。

详细步骤：

  1. 证明单调递减： xn+1−xn=(n+1)2+1(n+1)2+(n+1)−n2+1n2+n<0x_{n+1} - x_n = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^2 + (n+1)} - \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} < 0

  2. 证明有下界： xn=n2+1n2+n=1−n−1n2+n>0x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = 1 - \frac{n-1}{n^2 + n} > 0

  3. 由单调有界准则，数列收敛

  4. 求极限： lim⁡n→∞n2+1n2+n=lim⁡n→∞1+1n21+1n=1\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 1

答案：数列收敛，极限为 1。

练习 3

利用夹逼准则求极限 lim⁡x→∞sin⁡xx\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}。

参考答案

解题思路： 利用 sin⁡\sin 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

  1. 由于 −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1，所以 −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}

  2. lim⁡x→∞(−1x)=lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

  3. 由夹逼准则，lim⁡x→∞sin⁡xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0

答案：极限值为 0。