重要极限

重要极限

重要极限是极限计算中的基础工具，掌握这些极限可以大大简化复杂的极限计算。

第一个重要极限

极限表达式

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

几何意义

这个极限的几何意义是：当角度 $x$ 趋向于 0 时，$\sin x$ 与 $x$ 的比值趋向于 1。这说明在很小的角度下，正弦函数近似等于其角度值。

证明思路

1. 几何证明：

   • 在单位圆中，当角度 $x$ 很小时，弧长 $x$ 近似等于弦长 $\sin x$
   • 因此 $\frac{\sin x}{x} \approx 1$

2. 夹逼准则证明：

   • 可以证明 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$（当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时）
   • 由于 $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$，$\lim_{x \to 0} 1 = 1$
   • 由夹逼准则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

推广形式

1. 一般形式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$

2. 复合形式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$（其中 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$）

3. 倒数形式：$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

应用例子

例子 1：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

解：

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

例子 2：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2}$

解：

• 令 $t = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

第二个重要极限

极限表达式

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数。

几何意义

这个极限的几何意义是：当 $x$ 趋向于无穷大时，$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 趋向于自然常数 $e$。这个极限在复利计算、连续复利等金融问题中有重要应用。

证明思路

1. 数列形式：先证明数列 $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 收敛于 $e$

2. 单调有界准则：

   • 可以证明数列单调递增
   • 可以证明数列有上界
   • 因此数列收敛

3. 函数形式：利用数列极限推广到函数极限

推广形式

1. 一般形式：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$

2. 复合形式：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = e$（其中 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$）

3. 倒数形式：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

应用例子

例子 1：求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$

解：

• $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2$

例子 2：求 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

解：

• 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to \infty$
• $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

其他重要极限

1. 指数函数极限

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

证明：利用第二个重要极限和等价无穷小。

2. 对数函数极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

证明：利用指数函数极限的逆运算。

3. 幂函数极限

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha$

证明：利用对数函数和指数函数的性质。

重要极限的应用

1. 等价无穷小

利用重要极限可以得到重要的等价无穷小：

• 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$
• 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$
• 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$

2. 极限计算

重要极限是计算复杂极限的基础：

例子：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$

解：

• 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$
• 因此 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

3. 金融应用

第二个重要极限在金融中有重要应用：

• 连续复利：$A = P \cdot e^{rt}$
• 现值计算：$P = A \cdot e^{-rt}$

记忆技巧

第一个重要极限

• 口诀：正弦比角度，极限等于一
• 关键：记住 $\frac{\sin x}{x}$ 的形式

第二个重要极限

• 口诀：一加倒数幂，极限等于 e
• 关键：记住 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 的形式

推广记忆

• 第一个重要极限的推广：$\frac{\sin kx}{x} = k$
• 第二个重要极限的推广：$\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$。