连续性的基本概念

连续性的基本概念

连续性是函数的一种重要性质，直观上讲就是函数的图形没有中断。理解连续性对于学习微积分具有重要意义。

连续性的定义

函数连续性的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续。

数学语言表述

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，当且仅当：

1. $f(x_0)$ 存在（函数在该点有定义）
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

等价定义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，当且仅当：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。

连续性的几何意义

直观理解

连续性的几何意义是：函数图像在连续点处没有”跳跃”或”断裂”。

• 连续点：函数图像在该点处是”连在一起”的
• 不连续点：函数图像在该点处有”跳跃”或”断裂”

图形特征

1. 连续函数：函数图像是一条连续的曲线
2. 不连续函数：函数图像在某些点处有跳跃或断裂

连续性的判定方法

1. 定义法

直接使用连续性的定义进行判定：

• 检查函数在该点是否有定义
• 计算函数在该点的极限
• 比较极限值与函数值

2. 极限法

利用极限的性质判定连续性：

• 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则函数在 $x_0$ 点连续
• 如果极限不存在或极限值不等于函数值，则函数在该点不连续

3. 左右极限法

对于分段函数，可以分别计算左右极限：

• 如果 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则函数在 $x_0$ 点连续

连续性的基本性质

1. 局部性质

• 局部有界性：如果函数在 $x_0$ 点连续，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得函数在该邻域内有界
• 局部保号性：如果函数在 $x_0$ 点连续且 $f(x_0) > 0$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得函数在该邻域内恒为正

2. 运算性质

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x_0$ 点连续，则：

1. 和差连续性：$f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 点连续
2. 积连续性：$f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 点连续
3. 商连续性：$\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 点连续（其中 $g(x_0) \neq 0$）
4. 复合连续性：$f(g(x))$ 在 $x_0$ 点连续（其中 $g(x)$ 在 $x_0$ 点连续，$f(x)$ 在 $g(x_0)$ 点连续）

连续函数的例子

1. 多项式函数

例子：$f(x) = x^2 + 2x + 1$

分析：多项式函数在其定义域内处处连续。

2. 有理函数

例子：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

分析：有理函数在其定义域内连续，但在分母为零的点处不连续。

3. 三角函数

例子：$f(x) = \sin x$

分析：三角函数在其定义域内处处连续。

4. 指数函数和对数函数

例子：$f(x) = e^x$，$f(x) = \ln x$

分析：指数函数在 $\mathbb{R}$ 上连续，对数函数在 $(0, +\infty)$ 上连续。

不连续函数的例子

1. 分段函数

例子：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$

分析：需要检查在分段点 $x = 1$ 处的连续性。

2. 有理函数

例子：$f(x) = \frac{1}{x}$

分析：在 $x = 0$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

连续性的应用

1. 函数图像绘制

连续性帮助我们理解函数图像的特征：

• 连续函数的图像是连续的曲线
• 不连续点处图像有跳跃或断裂

2. 极限计算

连续性简化了极限计算：

• 如果函数在 $x_0$ 点连续，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

3. 函数性质研究

连续性是研究函数其他性质的基础：

• 连续函数在闭区间上有重要性质
• 连续性是微分和积分的基础

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^2 + 1$ 在 $x = 2$ 处的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 3

判断分段函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。