函数的间断点

函数的间断点

如果函数在某点不连续，则该点称为间断点。理解间断点的分类对于分析函数性质具有重要意义。

间断点的定义

基本定义

定义：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，如果函数在 $x_0$ 点不连续，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点。

间断点的判定

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点不连续，当且仅当以下条件之一成立：

1. $f(x_0)$ 不存在（函数在该点无定义）
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$（极限存在但不等于函数值）

间断点的分类

第一类间断点

定义：左、右极限都存在但不相等，或者左、右极限存在且相等但不等于函数值（或函数值无定义）。

第一类间断点又分为两种：

1. 可去间断点

定义：$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在但不等于 $f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义）。

特征：

• 左极限等于右极限
• 极限值与函数值不相等
• 可以通过重新定义函数值使函数在该点连续

例子：

• $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处
• $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$，但 $f(1)$ 无定义

2. 跳跃间断点

定义：左、右极限存在但不相等。

特征：

• 左极限不等于右极限
• 函数图像在该点有”跳跃”
• 无法通过重新定义函数值使函数连续

例子：

• $f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处
• $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$，$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$

第二类间断点

定义：左、右极限至少有一个不存在。

特征：

• 至少有一个单侧极限不存在
• 函数在该点附近可能无界
• 函数图像在该点可能有垂直渐近线

例子：

• $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处
• $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$，$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

间断点的判定方法

1. 定义法

直接使用间断点的定义进行判定：

• 检查函数在该点是否有定义
• 计算函数在该点的极限
• 比较极限值与函数值

2. 左右极限法

对于分段函数或复杂函数：

• 分别计算左极限和右极限
• 比较左极限、右极限和函数值
• 根据比较结果判断间断点类型

3. 图像法

通过观察函数图像：

• 连续点：图像连续通过
• 可去间断点：图像有”洞”
• 跳跃间断点：图像有”跳跃”
• 第二类间断点：图像可能有垂直渐近线

常见间断点例子

1. 有理函数的间断点

例子：$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

分析：

• 在 $x = 2$ 处，分母为零
• $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$
• 函数在 $x = 2$ 处无定义
• 因此 $x = 2$ 是可去间断点

2. 分段函数的间断点

例子：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2x, & x > 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

分析：

• 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$
• 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$
• 函数值：$f(1) = 1$
• 左极限等于函数值，但不等于右极限
• 因此 $x = 1$ 是跳跃间断点

3. 三角函数的间断点

例子：$f(x) = \tan x$

分析：

• 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）处，函数无定义
• 这些点是第二类间断点
• 函数图像在这些点处有垂直渐近线

4. 指数函数的间断点

例子：$f(x) = e^{\frac{1}{x}}$

分析：

• 在 $x = 0$ 处，函数无定义
• $\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$
• $\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$
• 因此 $x = 0$ 是第二类间断点

间断点的处理

1. 可去间断点的处理

对于可去间断点，可以通过以下方式处理：

重新定义函数值：

• 将函数在该点的值定义为极限值
• 使函数在该点连续

例子：

• 原函数：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
• 重新定义：$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$

2. 跳跃间断点的处理

跳跃间断点无法通过重新定义函数值使其连续，但可以：

分析跳跃大小：

• 计算跳跃的大小：$|\lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x)|$
• 分析跳跃对函数性质的影响

3. 第二类间断点的处理

第二类间断点通常表示函数在该点附近有严重的不连续性：

分析函数行为：

• 研究函数在该点附近的行为
• 分析是否影响函数的整体性质

间断点的应用

1. 函数图像绘制

间断点帮助我们准确绘制函数图像：

• 在间断点处标记特殊符号
• 注意函数在间断点附近的行为

2. 函数性质分析

间断点反映了函数的性质：

• 可去间断点：函数在该点附近行为良好
• 跳跃间断点：函数在该点有突变
• 第二类间断点：函数在该点附近可能无界

3. 实际问题应用

在物理、工程等实际问题中：

• 间断点可能表示物理量的突变
• 需要根据实际问题选择合适的处理方式

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 在 $x = 3$ 处的间断点类型。

练习 2

判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。