初等函数的连续性

初等函数的连续性

初等函数是数学中最基本和最重要的函数类型。理解初等函数的连续性对于学习微积分具有重要意义。

初等函数的定义

基本初等函数

基本初等函数包括：

1. 幂函数：$f(x) = x^n$（$n$ 为实数）
2. 指数函数：$f(x) = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$）
3. 对数函数：$f(x) = \log_a x$（$a > 0$，$a \neq 1$）
4. 三角函数：$\sin x$，$\cos x$，$\tan x$，$\cot x$，$\sec x$，$\csc x$
5. 反三角函数：$\arcsin x$，$\arccos x$，$\arctan x$，$\arccot x$

初等函数

初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数。

初等函数的连续性

基本结论

重要定理：一切初等函数在其定义域区间内都是连续的。

这个定理是初等函数连续性的基础，它告诉我们：

1. 定义域内连续：初等函数在其定义域内的每个点都是连续的
2. 区间内连续：初等函数在其定义域的每个区间内都是连续的
3. 运算保持连续性：初等函数的四则运算和复合运算保持连续性

证明思路

初等函数连续性的证明基于以下事实：

1. 基本初等函数连续：每个基本初等函数在其定义域内连续
2. 运算保持连续性：连续函数的四则运算和复合运算仍然是连续函数
3. 有限次运算：初等函数是有限次运算的结果

各类初等函数的连续性

1. 多项式函数

连续性：多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

例子：

• $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

证明：

• 常数函数和恒等函数连续
• 连续函数的和、差、积连续
• 因此多项式函数连续

2. 有理函数

连续性：有理函数在其定义域内连续。

定义域：分母不为零的所有实数。

例子：

• $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ 上连续
• $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上连续

注意：有理函数在分母为零的点处不连续。

3. 指数函数

连续性：指数函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

例子：

• $f(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• $f(x) = 2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

性质：

• 指数函数严格单调
• 指数函数的值域为 $(0, +\infty)$

4. 对数函数

连续性：对数函数在其定义域 $(0, +\infty)$ 内连续。

例子：

• $f(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• $f(x) = \log_2 x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

性质：

• 对数函数严格单调
• 对数函数的定义域为 $(0, +\infty)$

5. 三角函数

连续性：三角函数在其定义域内连续。

例子：

• $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• $f(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• $f(x) = \tan x$ 在 $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$ 上连续

注意：

• $\tan x$，$\cot x$，$\sec x$，$\csc x$ 在某些点处不连续
• 这些不连续点是第二类间断点

6. 反三角函数

连续性：反三角函数在其定义域内连续。

例子：

• $f(x) = \arcsin x$ 在 $[-1, 1]$ 上连续
• $f(x) = \arccos x$ 在 $[-1, 1]$ 上连续
• $f(x) = \arctan x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

性质：

• 反三角函数严格单调
• 反三角函数的值域有限

初等函数连续性的应用

1. 极限计算

初等函数的连续性简化了极限计算：

定理：如果 $f(x)$ 是初等函数，且 $x_0$ 在其定义域内，则： $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

例子：

• $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x + 1) = 2^2 + 3 \times 2 + 1 = 11$
• $\lim_{x \to 0} \sin x = \sin 0 = 0$
• $\lim_{x \to 1} e^x = e^1 = e$

2. 函数图像绘制

初等函数的连续性帮助我们绘制函数图像：

• 连续函数：图像是连续的曲线
• 间断点：只在函数无定义的点处有间断

3. 函数性质研究

初等函数的连续性为研究其他性质提供基础：

• 可微性：连续是可微的必要条件
• 可积性：连续函数在闭区间上可积
• 中值定理：连续函数满足中值定理

常见错误和注意事项

1. 定义域问题

错误：认为所有初等函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

正确：初等函数只在其定义域内连续。

例子：

• $f(x) = \ln x$ 只在 $(0, +\infty)$ 上连续
• $f(x) = \frac{1}{x}$ 只在 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上连续

2. 复合函数问题

错误：认为复合函数总是连续。

正确：需要检查复合函数的定义域。

例子：

• $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的定义域是 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$
• 在这个定义域内，函数连续

3. 分段函数问题

注意：分段函数不一定是初等函数。

例子：

• $f(x) = |x|$ 是初等函数（$|x| = \sqrt{x^2}$）
• $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ x, & x > 0 \end{cases}$ 不是初等函数

初等函数连续性的证明

1. 基本初等函数连续性

幂函数：$f(x) = x^n$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

证明：

• 对于正整数 $n$，通过数学归纳法证明
• 对于负整数 $n$，利用连续函数的商运算
• 对于有理数 $n$，利用连续函数的复合运算

指数函数：$f(x) = a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

证明：

• 利用指数函数的单调性和极限性质
• 证明在任意点 $x_0$ 处连续

三角函数：$\sin x$，$\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

证明：

• 利用三角函数的定义和极限性质
• 证明在任意点 $x_0$ 处连续

2. 运算保持连续性

定理：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x_0$ 点连续，则：

1. $f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 点连续
2. $f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 点连续
3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 点连续（其中 $g(x_0) \neq 0$）
4. $f(g(x))$ 在 $x_0$ 点连续（其中 $g(x)$ 在 $x_0$ 点连续，$f(x)$ 在 $g(x_0)$ 点连续）

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 的连续区间。