闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数具有一系列重要性质，这些性质是微积分理论的基础，在实际问题中有广泛应用。

基本概念

闭区间上的连续性

定义：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，如果：

1. $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续
2. $f(x)$ 在 $a$ 点右连续：$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
3. $f(x)$ 在 $b$ 点左连续：$\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。

重要性质概述

闭区间上连续函数具有以下重要性质：

1. 有界性定理：函数在闭区间上有界
2. 最值定理：函数在闭区间上能取到最大值和最小值
3. 介值定理：函数能取到任意中间值
4. 零点定理：函数在端点异号时必有零点

有界性定理

定理内容

有界性定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 必有界，即存在常数 $M > 0$，使得对于任意 $x \in [a, b]$，都有 $|f(x)| \leq M$。

几何意义

有界性定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像被两条水平线”夹住”。

证明思路

1. 反证法：假设函数无界
2. 构造数列：构造一个收敛到区间内某点的数列
3. 利用连续性：利用函数在该点的连续性
4. 得出矛盾：证明假设不成立

应用例子

例子 1：证明函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 2]$ 上有界。

解：

• 函数在 $[0, 2]$ 上连续
• 根据有界性定理，函数有界
• 实际上，$|f(x)| = x^2 \leq 4$，所以 $M = 4$

例子 2：函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无界。

解：

• 函数在 $(0, 1]$ 上连续
• 但当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to +\infty$
• 因此函数无界

最值定理

定理内容

最值定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 必能取到最大值和最小值，即存在 $x_1, x_2 \in [a, b]$，使得：

• $f(x_1) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$
• $f(x_2) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$

几何意义

最值定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像有最高点和最低点。

证明思路

1. 利用有界性：函数有界，因此有上确界和下确界
2. 构造数列：构造收敛到上确界和下确界的数列
3. 利用连续性：利用函数在极限点的连续性
4. 证明最值存在：证明上确界和下确界就是最大值和最小值

应用例子

例子 1：求函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

解：

• 函数在 $[0, 3]$ 上连续
• 根据最值定理，函数能取到最大值和最小值
• 通过求导或配方法可得：最大值在 $x = 3$ 处，$f(3) = 4$；最小值在 $x = 1$ 处，$f(1) = 0$

例子 2：函数 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的最大值和最小值。

解：

• 函数在 $[0, 2\pi]$ 上连续
• 最大值：$f(\frac{\pi}{2}) = 1$
• 最小值：$f(\frac{3\pi}{2}) = -1$

介值定理

定理内容

介值定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = C$。

几何意义

介值定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像能”连接”两个端点的函数值。

证明思路

1. 构造辅助函数：设 $g(x) = f(x) - C$
2. 应用零点定理：$g(a) \cdot g(b) < 0$
3. 利用零点定理：存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $g(\xi) = 0$
4. 得出结论：$f(\xi) = C$

应用例子

例子 1：证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = x^3 - 3x + 1$
• $f(0) = 1 > 0$，$f(1) = -1 < 0$
• 函数在 $[0, 1]$ 上连续
• 根据介值定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f(\xi) = 0$

例子 2：证明函数 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上能取到 $\frac{1}{2}$。

解：

• $f(0) = 0$，$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
• 函数在 $[0, \pi]$ 上连续
• 根据介值定理，存在 $\xi \in (0, \frac{\pi}{6})$ 使 $f(\xi) = \frac{1}{2}$

零点定理

定理内容

零点定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

几何意义

零点定理的几何意义是：如果连续函数在区间端点的函数值异号，则函数图像必定与 $x$ 轴相交。

证明思路

1. 利用介值定理：零点定理是介值定理的特例
2. 直接证明：构造区间套，利用连续性
3. 利用最值定理：通过最值定理证明零点存在

应用例子

例子 1：证明方程 $x^2 - 2 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = x^2 - 2$
• $f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 2 > 0$
• 函数在 $[1, 2]$ 上连续
• 根据零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$

例子 2：证明方程 $\cos x = x$ 在 $(0, 1)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = \cos x - x$
• $f(0) = 1 > 0$，$f(1) = \cos 1 - 1 < 0$
• 函数在 $[0, 1]$ 上连续
• 根据零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f(\xi) = 0$

定理之间的关系

逻辑关系

1. 有界性定理：最基础的定理
2. 最值定理：基于有界性定理
3. 介值定理：基于最值定理
4. 零点定理：介值定理的特例

应用顺序

在实际应用中，通常按以下顺序使用：

1. 判断连续性：确认函数在闭区间上连续
2. 应用有界性：判断函数是否有界
3. 寻找最值：利用最值定理
4. 求解方程：利用零点定理或介值定理

常见错误和注意事项

1. 区间类型错误

错误：在开区间上应用这些定理。

正确：这些定理只适用于闭区间。

例子：

• 函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上连续，但无界
• 函数 $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 上连续，但无最大值和最小值

2. 连续性假设错误

错误：对不连续函数应用这些定理。

正确：必须确认函数在闭区间上连续。

例子：

• 函数 $f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 0.5 \\ x + 1, & x > 0.5 \end{cases}$ 在 $[0, 1]$ 上不连续
• 虽然有 $f(0) = 0$，$f(1) = 2$，但函数在 $(0, 1)$ 内没有零点

3. 端点条件错误

错误：在零点定理中忽略端点异号条件。

正确：必须确认 $f(a) \cdot f(b) < 0$。

例子：

• 函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续
• $f(0) = 0$，$f(1) = 1 > 0$
• 虽然函数在 $[0, 1]$ 上有零点，但不满足零点定理的条件

练习题

练习 1

设 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，且 $f(0) = -1, f(2) = 3$，证明 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一点 $x_0$ 使 $f(x_0) = 0$。

练习 2

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，试说明 $f(x)$ 是否一定有界并能取到最大最小值。

练习 3

证明方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。