导数与微分的基本概念

导数与微分的基本概念

导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。理解导数的概念对于学习微积分具有重要意义。

导数的定义

基本定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

存在，则称该极限为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x_0}$。

等价定义

导数也可以用以下等价形式定义：

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

或

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

单侧导数

左导数：$f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

右导数：$f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

函数在 $x_0$ 处可导，当且仅当左导数和右导数都存在且相等。

导数的几何意义

切线斜率

导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。

几何解释

1. 切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
2. 切线斜率：$k = f'(x_0)$
3. 法线斜率：$k_n = -\frac{1}{f'(x_0)}$（当 $f'(x_0) \neq 0$ 时）

几何特征

• $f'(x_0) > 0$：函数在该点附近单调递增
• $f'(x_0) < 0$：函数在该点附近单调递减
• $f'(x_0) = 0$：函数在该点可能有极值

导数的物理意义

瞬时变化率

导数在物理中表示瞬时变化率：

1. 速度：位移对时间的导数

   • $v(t) = \frac{ds}{dt}$

2. 加速度：速度对时间的导数

   • $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$

3. 功率：功对时间的导数

   • $P(t) = \frac{dW}{dt}$

4. 电流：电荷对时间的导数

   • $i(t) = \frac{dq}{dt}$

其他物理应用

• 密度：质量对体积的导数
• 压强：力对面积的导数
• 温度梯度：温度对距离的导数

可导性与连续性

重要关系

定理：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续。

证明思路：

1. 函数可导意味着极限存在
2. 利用极限的性质证明连续性
3. 但连续不一定可导

反例

例子：函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导。

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处连续：$\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$
• 但不可导：左导数 $f'_-(0) = -1$，右导数 $f'_+(0) = 1$，不相等

其他反例

1. 尖点：$f(x) = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导
2. 振荡函数：某些振荡函数在特定点连续但不可导

微分的定义

基本定义

定义：若函数 $f(x)$ 在 $x$ 处可导，则 $df = f'(x)dx$，其中 $df$ 称为 $f(x)$ 在 $x$ 处的微分。

微分的形式

$df = f'(x)dx$

其中：

• $df$ 是函数的微分
• $f'(x)$ 是函数的导数
• $dx$ 是自变量的微分

微分的几何意义

微分 $df$ 表示函数在 $x$ 处的线性近似：

$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x$

微分的性质

1. 线性性：$d(af + bg) = a \cdot df + b \cdot dg$
2. 乘积法则：$d(uv) = u \cdot dv + v \cdot du$
3. 商法则：$d(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}$

导数的计算

基本函数的导数

1. 常数函数：$(c)' = 0$
2. 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$
3. 指数函数：$(e^x)' = e^x$，$(a^x)' = a^x \ln a$
4. 对数函数：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
5. 三角函数：
   • $(\sin x)' = \cos x$
   • $(\cos x)' = -\sin x$
   • $(\tan x)' = \sec^2 x$
   • $(\cot x)' = -\csc^2 x$

导数的基本运算法则

1. 和差法则：$(u \pm v)' = u' \pm v'$
2. 乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
3. 商法则：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
4. 链式法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

导数的应用

1. 函数图像的切线

切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（当 $f'(x_0) \neq 0$ 时）

2. 函数的单调性

• $f'(x) > 0$：函数在区间内单调递增
• $f'(x) < 0$：函数在区间内单调递减
• $f'(x) = 0$：函数在该点可能有极值

3. 函数的极值

• 必要条件：$f'(x_0) = 0$ 或 $f'(x_0)$ 不存在
• 充分条件：通过二阶导数或一阶导数变号判断

常见错误和注意事项

1. 概念理解错误

错误：认为连续函数一定可导 正确：连续是可导的必要条件，但不是充分条件

错误：混淆导数和微分 正确：导数是函数，微分是线性近似

2. 计算错误

错误：忽略链式法则 正确：复合函数求导必须使用链式法则

错误：符号错误 正确：注意导数的符号和运算顺序

3. 应用错误

错误：在不可导点求导数 正确：先判断函数在该点是否可导

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在 $x = 1$ 处的导数。

练习 2

判断函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处的可导性和连续性。

练习 3

求函数 $f(x) = \sin x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处的切线方程。