基本求导法则与常用公式

基本求导法则与常用公式

掌握基本的求导法则和常用函数的导数公式是进行复杂函数求导的基础。这些法则和公式将帮助我们高效地计算各种函数的导数。

基本求导法则

1. 和差法则

法则：$(u \pm v)' = u' \pm v'$

说明：两个函数的和（差）的导数等于它们导数的和（差）。

例子：

• $(x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$
• $(\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$

2. 乘积法则

法则：$(uv)' = u'v + uv'$

说明：两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

记忆方法：$(uv)' = u'v + uv'$（前导后不导 + 前不导后导）

例子：

• $(x^2 \cdot \sin x)' = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$
• $(e^x \cdot \ln x)' = (e^x)' \cdot \ln x + e^x \cdot (\ln x)' = e^x \cdot \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

3. 商法则

法则：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

说明：两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。

记忆方法：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（上导下不导 - 上不导下导，除以下的平方）

例子：

• $(\frac{x^2}{\sin x})' = \frac{(x^2)' \cdot \sin x - x^2 \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x}$
• $(\frac{\ln x}{x})' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

4. 链式法则（复合函数求导）

法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

说明：复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

一般形式：如果 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则 $y' = f'(u) \cdot g'(x)$

例子：

• $(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$
• $(e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

常用函数的导数

1. 幂函数

基本公式：$(x^n)' = nx^{n-1}$

特殊情况：

• $(x)' = 1$
• $(x^2)' = 2x$
• $(x^3)' = 3x^2$
• $(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
• $(\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. 指数函数

基本公式：

• $(e^x)' = e^x$
• $(a^x)' = a^x \ln a$（$a > 0$，$a \neq 1$）

例子：

• $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$
• $(2^x)' = 2^x \ln 2$
• $(3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (x^2)' = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$

3. 对数函数

基本公式：

• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$（$a > 0$，$a \neq 1$）

例子：

• $(\ln(x^2 + 1))' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1}$
• $(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$

4. 三角函数

基本公式：

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $(\cot x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$
• $(\sec x)' = \sec x \tan x$
• $(\csc x)' = -\csc x \cot x$

例子：

• $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$
• $(\tan(x^2))' = \sec^2(x^2) \cdot (x^2)' = 2x \sec^2(x^2)$

5. 反三角函数

基本公式：

• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$|x| < 1$）
• $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$|x| < 1$）
• $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
• $(\arccot x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

例子：

• $(\arcsin(x^2))' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \cdot (x^2)' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$
• $(\arctan(\frac{1}{x}))' = \frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2 + 1}$

复合函数求导技巧

1. 识别复合结构

步骤：

1. 识别外层函数和内层函数
2. 分别求外层函数和内层函数的导数
3. 使用链式法则组合

例子：求 $(\sin(e^x))'$

解：

• 外层函数：$\sin u$，内层函数：$u = e^x$
• $(\sin u)' = \cos u$，$(e^x)' = e^x$
• $(\sin(e^x))' = \cos(e^x) \cdot e^x$

2. 多层复合函数

例子：求 $(\sin(\ln(x^2 + 1)))'$

解：

• 最外层：$\sin u$，$u = \ln(x^2 + 1)$
• 中间层：$\ln v$，$v = x^2 + 1$
• 最内层：$x^2 + 1$
• $(\sin(\ln(x^2 + 1)))' = \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$

特殊函数求导

1. 绝对值函数

公式：$(|x|)' = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \\ \text{不存在}, & x = 0 \end{cases}$

一般形式：$(|f(x)|)' = \frac{f(x)}{|f(x)|} \cdot f'(x)$（当 $f(x) \neq 0$ 时）

2. 分段函数

方法：分别求各段的导数，注意分段点的处理

例子：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$

解：

• 当 $x > 0$ 时：$f'(x) = 2x$
• 当 $x < 0$ 时：$f'(x) = -2x$
• 当 $x = 0$ 时：需要单独判断

求导技巧总结

1. 化简技巧

对数求导法：对于形如 $y = f(x)^{g(x)}$ 的函数，可以两边取对数再求导。

例子：求 $y = x^x$ 的导数

解：

• 两边取对数：$\ln y = x \ln x$
• 对 $x$ 求导：$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$
• 所以：$y' = x^x(\ln x + 1)$

2. 隐函数求导

方法：对方程两边同时对 $x$ 求导，然后解出 $y'$

例子：求 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$2x + 2yy' = 0$
• 解出 $y'$：$y' = -\frac{x}{y}$

3. 参数方程求导

公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

例子：$x = \cos t$，$y = \sin t$，求 $\frac{dy}{dx}$

解：

• $\frac{dx}{dt} = -\sin t$，$\frac{dy}{dt} = \cos t$
• $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$

常见错误和注意事项

1. 符号错误

错误：$(\sin x)' = -\cos x$ 正确：$(\sin x)' = \cos x$

错误：$(\ln x)' = x$ 正确：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

2. 链式法则错误

错误：$(\sin(x^2))' = \sin(2x)$ 正确：$(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot 2x$

3. 乘积法则错误

错误：$(uv)' = u'v'$ 正确：$(uv)' = u'v + uv'$

4. 商法则错误

错误：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'}{v'}$ 正确：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = x^3 \cdot \sin x$ 的导数。

练习 2

求函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1}$ 的导数。

练习 3

求函数 $f(x) = \sin(e^{x^2})$ 的导数。