复合、反、隐函数求导与高阶导数

复合、反、隐函数求导与高阶导数

在掌握了基本求导法则后，我们需要学习更复杂的求导技巧，包括复合函数、反函数、隐函数求导以及高阶导数的计算方法。

复合函数求导

链式法则回顾

基本法则：如果 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则 $y' = f'(u) \cdot g'(x)$

一般形式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

多层复合函数

法则：对于多层复合函数，从外到内逐层求导

例子：求 $y = \sin(\ln(x^2 + 1))$ 的导数

解：

• 最外层：$\sin u$，$u = \ln(x^2 + 1)$
• 中间层：$\ln v$，$v = x^2 + 1$
• 最内层：$x^2 + 1$
• $y' = \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$

复合函数求导技巧

1. 识别复合结构

• 从最外层开始识别
• 逐层向内分解
• 注意函数的嵌套关系

2. 逐层求导

• 每层分别求导
• 使用链式法则组合
• 注意符号和运算顺序

3. 化简结果

• 合并同类项
• 化简表达式
• 检查结果的合理性

反函数求导

反函数求导公式

公式：如果 $y = f^{-1}(x)$ 是 $x = f(y)$ 的反函数，且 $f'(y) \neq 0$，则

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

常见反函数的导数

1. 反三角函数

• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$|x| < 1$）
• $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$|x| < 1$）
• $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
• $(\arccot x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

2. 反双曲函数

• $(\sinh^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
• $(\cosh^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$（$x > 1$）
• $(\tanh^{-1} x)' = \frac{1}{1 - x^2}$（$|x| < 1$）

反函数求导的证明

证明思路：

1. 设 $y = f^{-1}(x)$，则 $x = f(y)$
2. 两边对 $x$ 求导：$1 = f'(y) \cdot y'$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

隐函数求导

隐函数求导方法

基本步骤：

1. 对方程两边同时对 $x$ 求导
2. 将 $y$ 视为 $x$ 的函数
3. 解出 $y'$

基本例子

例子 1：求 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$2x + 2yy' = 0$
• 解出 $y'$：$y' = -\frac{x}{y}$

例子 2：求 $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'$
• 整理：$3y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^2$
• 解出 $y'$：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

隐函数求导技巧

1. 处理 $y$ 的幂次

• $(y^n)' = ny^{n-1}y'$
• $(e^y)' = e^y \cdot y'$
• $(\ln y)' = \frac{y'}{y}$

2. 处理复合函数

• $(\sin y)' = \cos y \cdot y'$
• $(\cos y)' = -\sin y \cdot y'$

3. 处理乘积和商

• $(xy)' = y + xy'$
• $(\frac{x}{y})' = \frac{y - xy'}{y^2}$

参数方程求导

参数方程求导公式

公式：如果 $x = x(t)$，$y = y(t)$，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$

基本例子

例子 1：$x = \cos t$，$y = \sin t$，求 $\frac{dy}{dx}$

解：

• $\frac{dx}{dt} = -\sin t$，$\frac{dy}{dt} = \cos t$
• $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$

例子 2：$x = t^2$，$y = t^3$，求 $\frac{dy}{dx}$

解：

• $\frac{dx}{dt} = 2t$，$\frac{dy}{dt} = 3t^2$
• $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$

高阶导数

二阶导数： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$

例子：$x = \cos t$，$y = \sin t$，求 $\frac{d^2y}{dx^2}$

解：

• $\frac{dy}{dx} = -\cot t$
• $\frac{d}{dt}(-\cot t) = \csc^2 t$
• $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-\sin t}$
• $\frac{d^2y}{dx^2} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{-\sin t} = -\csc^3 t$

高阶导数

高阶导数的定义

定义：函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数记作 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^n f}{dx^n}$，定义为

$f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}(f^{(n-1)}(x))$

常见函数的高阶导数

1. 幂函数

• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(x^n)'' = n(n-1)x^{n-2}$
• $(x^n)^{(k)} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$（$k \leq n$）

2. 指数函数

• $(e^x)' = e^x$
• $(e^x)'' = e^x$
• $(e^x)^{(n)} = e^x$

3. 三角函数

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\sin x)'' = -\sin x$
• $(\sin x)''' = -\cos x$
• $(\sin x)^{(4)} = \sin x$

4. 对数函数

• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}$
• $(\ln x)''' = \frac{2}{x^3}$
• $(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

高阶导数的运算法则

1. 线性性

• $(af + bg)^{(n)} = af^{(n)} + bg^{(n)}$

2. 莱布尼茨公式

• $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$

例子：求 $(x^2 \sin x)''$

解：

• 使用莱布尼茨公式：$n = 2$
• $(x^2 \sin x)'' = C_2^0 (x^2)'' \sin x + C_2^1 (x^2)' (\sin x)' + C_2^2 x^2 (\sin x)''$
• $= 1 \cdot 2 \cdot \sin x + 2 \cdot 2x \cdot \cos x + 1 \cdot x^2 \cdot (-\sin x)$
• $= 2\sin x + 4x\cos x - x^2\sin x$

特殊求导技巧

1. 对数求导法

适用情况：形如 $y = f(x)^{g(x)}$ 的函数

方法：

1. 两边取对数：$\ln y = g(x) \ln f(x)$
2. 对 $x$ 求导：$\frac{y'}{y} = g'(x) \ln f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$
3. 解出 $y'$：$y' = y \cdot [g'(x) \ln f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}]$

例子：求 $y = x^x$ 的导数

解：

• $\ln y = x \ln x$
• $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$
• $y' = x^x(\ln x + 1)$

2. 分段函数求导

方法：

1. 分别求各段的导数
2. 在分段点处单独判断
3. 注意分段点的连续性

例子：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$

解：

• 当 $x > 0$ 时：$f'(x) = 2x$
• 当 $x < 0$ 时：$f'(x) = -2x$
• 当 $x = 0$ 时：$f'_-(0) = 0$，$f'_+(0) = 0$，所以 $f'(0) = 0$

3. 绝对值函数求导

公式：$(|f(x)|)' = \frac{f(x)}{|f(x)|} \cdot f'(x)$（当 $f(x) \neq 0$ 时）

例子：求 $(|x^2 - 1|)'$

解：

• 当 $x^2 - 1 > 0$ 时：$(|x^2 - 1|)' = 2x$
• 当 $x^2 - 1 < 0$ 时：$(|x^2 - 1|)' = -2x$

常见错误和注意事项

1. 复合函数求导错误

错误：$(\sin(x^2))' = \sin(2x)$ 正确：$(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot 2x$

2. 隐函数求导错误

错误：忽略 $y$ 是 $x$ 的函数 正确：将 $y$ 视为 $x$ 的函数，使用链式法则

3. 参数方程求导错误

错误：$\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy}$ 正确：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

4. 高阶导数错误

错误：$(uv)'' = u''v''$ 正确：使用莱布尼茨公式

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = \arcsin(x^2)$ 的导数。

练习 2

求由方程 $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定的隐函数的导数。

练习 3

求参数方程 $x = t^2$，$y = t^3$ 确定的函数的二阶导数。