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微分中值定理

微分中值定理

微分中值定理是微积分中的重要定理，它们建立了函数在区间上的平均变化率与某点的瞬时变化率之间的联系。这些定理在证明其他定理和解决实际问题中具有重要作用。

罗尔定理

定理内容

罗尔定理：设函数 f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续，在开区间 (a,b)(a, b) 内可导，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，则存在至少一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b)，使得 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0。

几何意义

罗尔定理的几何意义是：如果一条连续光滑的曲线在两个端点处的高度相同，那么在这条曲线上至少存在一点，使得该点的切线是水平的。

证明思路

  1. 利用最值定理：函数在闭区间上连续，必有最大值和最小值
  2. 分析最值点：如果最大值或最小值在区间内部，则该点导数为零
  3. 特殊情况：如果最大值和最小值都在端点，则函数为常数

应用例子

例子 1：证明方程 x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 在 (0,1)(0, 1) 内至多有一个实根。

解：

  • 设 f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1
  • 假设方程在 (0,1)(0, 1) 内有两个不同的实根 x1,x2x_1, x_2
  • 则 f(x1)=f(x2)=0f(x_1) = f(x_2) = 0
  • 根据罗尔定理，存在 ξ∈(x1,x2)\xi \in (x_1, x_2) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0
  • 但 f′(x)=3x2−3=3(x2−1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)
  • 在 (0,1)(0, 1) 内，f′(x)<0f'(x) < 0，矛盾
  • 因此方程在 (0,1)(0, 1) 内至多有一个实根

拉格朗日中值定理

定理内容

拉格朗日中值定理：设函数 f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续，在开区间 (a,b)(a, b) 内可导，则存在至少一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b)，使得

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

几何意义

拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条连续光滑的曲线连接两点，那么在这条曲线上至少存在一点，使得该点的切线斜率等于连接两点的割线斜率。

证明思路

  1. 构造辅助函数：g(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)
  2. 验证条件：g(a)=g(b)=0g(a) = g(b) = 0
  3. 应用罗尔定理：存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 g′(ξ)=0g'(\xi) = 0
  4. 得出结论：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

应用例子

例子 1：证明不等式 ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \leq |x - y|。

解：

  • 设 f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t，在 [x,y][x, y] 上应用拉格朗日中值定理
  • 存在 ξ∈(x,y)\xi \in (x, y) 使 f′(ξ)=sin⁡y−sin⁡xy−xf'(\xi) = \frac{\sin y - \sin x}{y - x}
  • 即 cos⁡ξ=sin⁡y−sin⁡xy−x\cos \xi = \frac{\sin y - \sin x}{y - x}
  • 由于 ∣cos⁡ξ∣≤1|\cos \xi| \leq 1，所以 ∣sin⁡y−sin⁡xy−x∣≤1|\frac{\sin y - \sin x}{y - x}| \leq 1
  • 因此 ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \leq |x - y|

例子 2：证明函数 f(x)=x3f(x) = x^3 在 [1,2][1, 2] 上满足拉格朗日中值定理，并求 ξ\xi。

解：

  • f(1)=1f(1) = 1，f(2)=8f(2) = 8
  • f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
  • 根据拉格朗日中值定理：3ξ2=8−12−1=73\xi^2 = \frac{8 - 1}{2 - 1} = 7
  • 所以 ξ2=73\xi^2 = \frac{7}{3}，ξ=73\xi = \sqrt{\frac{7}{3}}

柯西中值定理

定理内容

柯西中值定理：设函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续，在开区间 (a,b)(a, b) 内可导，且 g′(x)≠0g'(x) \neq 0，则存在至少一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b)，使得

f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

几何意义

柯西中值定理的几何意义是：如果两条连续光滑的曲线在区间端点处有相同的参数值，那么在这两条曲线上至少存在一对对应的点，使得它们的切线斜率之比等于割线斜率之比。

证明思路

  1. 构造辅助函数：h(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)(g(x)−g(a))h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(x) - g(a))
  2. 验证条件：h(a)=h(b)=0h(a) = h(b) = 0
  3. 应用罗尔定理：存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 h′(ξ)=0h'(\xi) = 0
  4. 得出结论：f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

应用例子

例子 1：设 f(x)=x2f(x) = x^2，g(x)=x3g(x) = x^3，在 [1,2][1, 2] 上验证柯西中值定理。

解：

  • f(1)=1f(1) = 1，f(2)=4f(2) = 4，g(1)=1g(1) = 1，g(2)=8g(2) = 8
  • f′(x)=2xf'(x) = 2x，g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2
  • 根据柯西中值定理：2ξ3ξ2=4−18−1=37\frac{2\xi}{3\xi^2} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{3}{7}
  • 所以 23ξ=37\frac{2}{3\xi} = \frac{3}{7}，ξ=149\xi = \frac{14}{9}

中值定理之间的关系

逻辑关系

  1. 罗尔定理：最基础的定理，是其他中值定理的基础
  2. 拉格朗日中值定理：罗尔定理的推广，去掉了端点相等的条件
  3. 柯西中值定理：拉格朗日中值定理的推广，考虑两个函数

特殊情况

  • 当 g(x)=xg(x) = x 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理
  • 当 f(a)=f(b)f(a) = f(b) 时，拉格朗日中值定理退化为罗尔定理

中值定理的应用

1. 证明不等式

例子：证明 ex>1+xe^x > 1 + x（x>0x > 0）。

解：

  • 设 f(x)=exf(x) = e^x，在 [0,x][0, x] 上应用拉格朗日中值定理
  • 存在 ξ∈(0,x)\xi \in (0, x) 使 eξ=ex−1xe^\xi = \frac{e^x - 1}{x}
  • 由于 ξ>0\xi > 0，所以 eξ>1e^\xi > 1
  • 因此 ex−1x>1\frac{e^x - 1}{x} > 1，即 ex>1+xe^x > 1 + x

2. 证明方程根的存在性

例子：证明方程 x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 在 (0,1)(0, 1) 内有实根。

解：

  • 设 f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1
  • f(0)=1>0f(0) = 1 > 0，f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0
  • 根据零点定理，存在 ξ∈(0,1)\xi \in (0, 1) 使 f(ξ)=0f(\xi) = 0

3. 证明函数的单调性

例子：证明函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1 + x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递增。

解：

  • f′(x)=11+x>0f'(x) = \frac{1}{1 + x} > 0（x>0x > 0）
  • 因此函数在 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递增

4. 证明函数的凸凹性

例子：证明函数 f(x)=x2f(x) = x^2 在 R\mathbb{R} 上是凸函数。

解：

  • f′(x)=2xf'(x) = 2x，f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0
  • 因此函数在 R\mathbb{R} 上是凸函数

常见错误和注意事项

1. 条件检查错误

错误：不检查定理的条件就应用定理 正确：必须验证所有条件都满足

例子：函数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} 在 [0,1][0, 1] 上不连续，不能应用中值定理

2. 区间选择错误

错误：在开区间上应用中值定理 正确：中值定理要求函数在闭区间上连续

3. 可导性检查错误

错误：忽略可导性条件 正确：必须检查函数在开区间内可导

4. 柯西中值定理条件错误

错误：忽略 g′(x)≠0g'(x) \neq 0 的条件 正确：必须确保 g′(x)≠0g'(x) \neq 0

中值定理的推广

1. 广义中值定理

定理：设函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，在 (a,b)(a, b) 内可导，则存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b)，使得

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)

2. 积分中值定理

定理：设函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b]，使得

∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a)

3. 泰勒中值定理

定理：设函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某邻域内有 n+1n+1 阶导数，则对于该邻域内的任意 xx，存在 ξ\xi 在 x0x_0 与 xx 之间，使得

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}

练习题

练习 1

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，在 (a,b)(a, b) 内可导，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，证明存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0。

参考答案

解题思路： 使用罗尔定理。

详细步骤：

  1. 函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，在 (a,b)(a, b) 内可导
  2. f(a)=f(b)f(a) = f(b)
  3. 根据罗尔定理，存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0

答案：存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0。

练习 2

证明不等式 ∣cos⁡x−cos⁡y∣≤∣x−y∣|\cos x - \cos y| \leq |x - y|。

参考答案

解题思路： 使用拉格朗日中值定理。

详细步骤：

  1. 设 f(t)=cos⁡tf(t) = \cos t，在 [x,y][x, y] 上应用拉格朗日中值定理
  2. 存在 ξ∈(x,y)\xi \in (x, y) 使 f′(ξ)=cos⁡y−cos⁡xy−xf'(\xi) = \frac{\cos y - \cos x}{y - x}
  3. 即 −sin⁡ξ=cos⁡y−cos⁡xy−x-\sin \xi = \frac{\cos y - \cos x}{y - x}
  4. 由于 ∣sin⁡ξ∣≤1|\sin \xi| \leq 1，所以 ∣cos⁡y−cos⁡xy−x∣≤1|\frac{\cos y - \cos x}{y - x}| \leq 1
  5. 因此 ∣cos⁡x−cos⁡y∣≤∣x−y∣|\cos x - \cos y| \leq |x - y|

答案：不等式成立。

练习 3

设 f(x)=x2f(x) = x^2，g(x)=x3g(x) = x^3，在 [1,2][1, 2] 上验证柯西中值定理。

参考答案

解题思路： 计算相关值并验证定理。

详细步骤：

  1. f(1)=1f(1) = 1，f(2)=4f(2) = 4，g(1)=1g(1) = 1，g(2)=8g(2) = 8
  2. f′(x)=2xf'(x) = 2x，g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2
  3. 根据柯西中值定理：2ξ3ξ2=4−18−1=37\frac{2\xi}{3\xi^2} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{3}{7}
  4. 所以 23ξ=37\frac{2}{3\xi} = \frac{3}{7}，ξ=149\xi = \frac{14}{9}

答案：ξ=149\xi = \frac{14}{9}。