洛必达法则

洛必达法则是求极限的重要工具，它利用导数来求某些特殊形式的极限，特别是 $\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限。

基本定理

定理内容

洛必达法则：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $a$ 的某去心邻域内有定义，且满足：

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ 或 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$
$f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为 $\pm\infty$

则

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

适用情况

1. $\frac{0}{0}$ 型

特点：分子分母都趋于零

例子： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

解：

分子分母都趋于零，满足 $\frac{0}{0}$ 型
$(\sin x)' = \cos x$ ， $(x)' = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型

特点：分子分母都趋于无穷

例子： $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$

解：

分子分母都趋于无穷，满足 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
$(x^2)' = 2x$ ， $(e^x)' = e^x$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$
再次应用洛必达法则： $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$

3. $0 \cdot \infty$ 型

特点：一个因子趋于零，另一个趋于无穷

方法：转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

例子： $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

解：

转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型： $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ ， $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$

4. $\infty - \infty$ 型

特点：两个无穷大相减

方法：通分或提取公因子

例子： $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1})$

解：

通分： $\lim_{x \to 1} \frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}$
分子分母都趋于零，应用洛必达法则
$\lim_{x \to 1} \frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x + (x-1)\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x\ln x + x-1} = \frac{0}{0}$
再次应用洛必达法则： $\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + 1 + 1} = \frac{1}{2}$

5. $0^0$ 、 $\infty^0$ 、 $1^\infty$ 型

特点：幂指函数的不定式

方法：取对数转化为其他类型

例子： $\lim_{x \to 0^+} x^x$

解：

设 $y = x^x$ ，则 $\ln y = x \ln x$
$\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ （前面已求）
所以 $\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1$

应用技巧

1. 多次应用洛必达法则

注意：每次应用前都要检查条件

例子： $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

解：

第一次： $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \frac{0}{0}$
第二次： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{0}{0}$
第三次： $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

2. 结合其他方法

例子： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

解：

使用泰勒展开： $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6}$

3. 变量替换

例子： $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$

解：

设 $t = \ln x$ ，则 $x = e^t$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t} = 0$

常见错误和注意事项

1. 条件检查错误

错误：不检查条件就应用洛必达法则正确：必须验证所有条件都满足

例子： $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0$ （不需要洛必达法则）

2. 循环应用错误

错误：无限次应用洛必达法则正确：如果多次应用后极限仍不存在，应考虑其他方法

3. 导数计算错误

错误：导数计算错误正确：仔细计算导数，注意符号和运算顺序

4. 类型判断错误

错误：错误判断极限类型正确：准确判断极限类型，选择合适的处理方法