导数的应用

导数的应用

导数不仅是微积分的核心概念，也是研究函数性质的重要工具。通过导数，我们可以分析函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等性质，并解决实际问题中的最优化问题。

单调性与极值

单调性判别法

定理：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 的内部可导，则：

1. 如果 $f'(x) > 0$ 在 $I$ 的内部成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增
2. 如果 $f'(x) < 0$ 在 $I$ 的内部成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减

极值的必要条件

定理：如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值，且在该点可导，则 $f'(x_0) = 0$。

注意：$f'(x_0) = 0$ 是极值的必要条件，但不是充分条件。

极值的充分条件

第一充分条件：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内连续，在去心邻域内可导，且 $f'(x_0) = 0$ 或 $f'(x_0)$ 不存在，则：

1. 当 $x < x_0$ 时 $f'(x) > 0$，当 $x > x_0$ 时 $f'(x) < 0$，则 $f(x_0)$ 为极大值
2. 当 $x < x_0$ 时 $f'(x) < 0$，当 $x > x_0$ 时 $f'(x) > 0$，则 $f(x_0)$ 为极小值

第二充分条件：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0) = 0$，则：

1. 如果 $f''(x_0) > 0$，则 $f(x_0)$ 为极小值
2. 如果 $f''(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$ 为极大值

应用例子

例子 1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的单调区间和极值。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
• 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0, 2$
• 分析符号：
  • 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增
  • 当 $0 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减
  • 当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增
• $f''(x) = 6x - 6$
• $f''(0) = -6 < 0$，$x = 0$ 为极大值点，$f(0) = 2$
• $f''(2) = 6 > 0$，$x = 2$ 为极小值点，$f(2) = -2$

凹凸性与拐点

凹凸性判别法

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对于 $I$ 内任意两点 $x_1, x_2$，都有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数（向上凹）。

如果不等式反向，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数（向下凹）。

判别法：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，则：

1. 如果 $f''(x) > 0$ 在 $I$ 上成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数
2. 如果 $f''(x) < 0$ 在 $I$ 上成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数

拐点的定义与判别

定义：如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的凹凸性发生改变，则称点 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点。

判别法：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处三阶可导，且 $f''(x_0) = 0$，则：

1. 如果 $f'''(x_0) \neq 0$，则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点
2. 如果 $f'''(x_0) = 0$，需要进一步分析

应用例子

例子 1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的凹凸区间和拐点。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x$
• $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
• 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 1$
• 当 $x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，函数为凸函数
• 当 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，函数为凹函数
• $f'''(x) = 6 \neq 0$，所以 $(1, f(1)) = (1, 0)$ 为拐点

最大最小值

闭区间上的最大最小值

方法：

1. 求函数在区间内的所有驻点（$f'(x) = 0$ 的点）
2. 求函数在区间内的所有不可导点
3. 求函数在区间端点的值
4. 比较以上所有点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值

应用例子

例子 1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $[-1, 3]$ 上的最大最小值。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
• 驻点：$x = 0, 2$
• $f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2$
• $f(0) = 2$
• $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$
• $f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$
• 最大值为 $2$，最小值为 $-2$

曲线的切线与法线

切线方程

公式：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程

公式：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的法线方程为

$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$

（当 $f'(x_0) \neq 0$ 时）

应用例子

例子 1：求曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线和法线方程。

解：

• $f'(x) = \frac{1}{x}$，$f'(1) = 1$
• 切线方程：$y - 0 = 1(x - 1)$，即 $y = x - 1$
• 法线方程：$y - 0 = -1(x - 1)$，即 $y = -x + 1$

弧微分与曲率

弧微分

定义：曲线 $y = f(x)$ 的弧微分为

$ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

曲率

定义：曲线 $y = f(x)$ 在点 $x$ 处的曲率为

$\kappa = \frac{|f''(x)|}{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}$

应用例子

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的曲率。

解：

• $f'(x) = 2x$，$f'(1) = 2$
• $f''(x) = 2$，$f''(1) = 2$
• $\kappa = \frac{|2|}{[1 + 2^2]^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}$

实际应用问题

1. 最优化问题

例子：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
• 驻点：$x = 0, 2$
• $f(0) = 2$，$f(2) = -2$，$f(3) = 2$
• 最大值为 $2$

2. 物理应用

例子：一个物体沿直线运动，位移函数为 $s(t) = t^3 - 3t^2 + 2$，求速度为零的时刻。

解：

• 速度 $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2)$
• 令 $v(t) = 0$，得 $t = 0, 2$
• 速度为零的时刻为 $t = 0$ 和 $t = 2$

3. 经济应用

例子：某产品的成本函数为 $C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10$，求平均成本最小的产量。

解：

• 平均成本 $AC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x}$
• $AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2}$
• 令 $AC'(x) = 0$，得 $2x^3 - 3x^2 - 10 = 0$
• 通过数值方法求解，得到 $x \approx 2.5$

常见错误和注意事项

1. 极值判断错误

错误：认为 $f'(x_0) = 0$ 就意味着 $x_0$ 是极值点 正确：需要进一步判断导数的符号变化或二阶导数

2. 凹凸性判断错误

错误：混淆凹凸性的定义 正确：凹函数是向上凹，凸函数是向下凹

3. 最值计算错误

错误：只考虑驻点，忽略端点和不可导点 正确：必须考虑所有可能的极值点

4. 切线计算错误

错误：切线斜率计算错误 正确：切线斜率等于函数在该点的导数

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的极值点和极值。

练习 2

求曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程。

练习 3

求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $[0, 3]$ 上的最大最小值。