logo
简体中文
导航

综合练习题

综合练习题

本章的综合练习题涵盖了导数与微分的所有重要知识点，包括基本概念、求导法则、中值定理、洛必达法则以及导数的应用。

基础概念题

练习 1

求函数 f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x=1x = 1 处的导数。

参考答案

解题思路： 使用导数的定义或基本求导法则。

详细步骤：

  1. 方法一：使用定义 f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} =lim⁡h→0(1+h)2+2(1+h)+1−(1+2+1)h= \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 + 2(1 + h) + 1 - (1 + 2 + 1)}{h} =lim⁡h→01+2h+h2+2+2h+1−4h= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 + 2 + 2h + 1 - 4}{h} =lim⁡h→04h+h2h=lim⁡h→0(4+h)=4= \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4

  2. 方法二：使用基本求导法则 f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2 f′(1)=2×1+2=4f'(1) = 2 \times 1 + 2 = 4

答案：f′(1)=4f'(1) = 4

练习 2

判断函数 f(x)=∣x∣f(x) = |x| 在 x=0x = 0 处的可导性和连续性。

参考答案

解题思路： 分别判断连续性和可导性。

详细步骤：

  1. 连续性判断： lim⁡x→0∣x∣=0=f(0)\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)，所以函数在 x=0x = 0 处连续。

  2. 可导性判断： 左导数：f−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣h=lim⁡h→0−−hh=−1f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 右导数：f+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣h=lim⁡h→0+hh=1f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 左导数不等于右导数，所以函数在 x=0x = 0 处不可导。

答案：函数在 x=0x = 0 处连续但不可导。

求导法则题

练习 3

求函数 f(x)=x3⋅sin⁡xf(x) = x^3 \cdot \sin x 的导数。

参考答案

解题思路： 使用乘积法则。

详细步骤：

  1. 设 u=x3u = x^3，v=sin⁡xv = \sin x
  2. u′=3x2u' = 3x^2，v′=cos⁡xv' = \cos x
  3. 使用乘积法则：(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
  4. f′(x)=3x2⋅sin⁡x+x3⋅cos⁡xf'(x) = 3x^2 \cdot \sin x + x^3 \cdot \cos x

答案：f′(x)=3x2sin⁡x+x3cos⁡xf'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x

练习 4

求函数 f(x)=x2+1x+1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1} 的导数。

参考答案

解题思路： 使用商法则。

详细步骤：

  1. 设 u=x2+1u = x^2 + 1，v=x+1v = x + 1
  2. u′=2xu' = 2x，v′=1v' = 1
  3. 使用商法则：(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
  4. f′(x)=2x(x+1)−(x2+1)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}
  5. =2x2+2x−x2−1(x+1)2=x2+2x−1(x+1)2= \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}

答案：f′(x)=x2+2x−1(x+1)2f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}

练习 5

求函数 f(x)=sin⁡(ex2)f(x) = \sin(e^{x^2}) 的导数。

参考答案

解题思路： 使用链式法则，注意多层复合。

详细步骤：

  1. 最外层：sin⁡u\sin u，u=ex2u = e^{x^2}
  2. 中间层：eve^v，v=x2v = x^2
  3. 最内层：x2x^2
  4. (sin⁡u)′=cos⁡u(\sin u)' = \cos u，(ev)′=ev(e^v)' = e^v，(x2)′=2x(x^2)' = 2x
  5. f′(x)=cos⁡(ex2)⋅ex2⋅2x=2xex2cos⁡(ex2)f'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \cos(e^{x^2})

答案：f′(x)=2xex2cos⁡(ex2)f'(x) = 2x e^{x^2} \cos(e^{x^2})

复合函数与隐函数题

练习 6

求函数 f(x)=arcsin⁡(x2)f(x) = \arcsin(x^2) 的导数。

参考答案

解题思路： 使用反函数求导公式。

详细步骤：

  1. 设 y=arcsin⁡(x2)y = \arcsin(x^2)，则 x2=sin⁡yx^2 = \sin y
  2. 两边对 xx 求导：2x=cos⁡y⋅y′2x = \cos y \cdot y'
  3. 解出 y′y'：y′=2xcos⁡y=2x1−x4y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

答案：f′(x)=2x1−x4f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

练习 7

求由方程 x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xy 确定的隐函数的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导方法。

详细步骤：

  1. 两边对 xx 求导：3x2+3y2y′=3y+3xy′3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'
  2. 整理：3y2y′−3xy′=3y−3x23y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^2
  3. 解出 y′y'：y′=y−x2y2−xy' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}

答案：y′=y−x2y2−xy' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}

练习 8

求参数方程 x=t2x = t^2，y=t3y = t^3 确定的函数的二阶导数。

参考答案

解题思路： 先求一阶导数，再求二阶导数。

详细步骤：

  1. 一阶导数：dydx=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}
  2. 二阶导数：d2ydx2=ddt(3t2)⋅dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) \cdot \frac{dt}{dx}
  3. ddt(3t2)=32\frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) = \frac{3}{2}
  4. dtdx=1dx/dt=12t\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2t}
  5. d2ydx2=32⋅12t=34t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}

答案：d2ydx2=34t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4t}

中值定理题

练习 9

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，在 (a,b)(a, b) 内可导，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，证明存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0。

参考答案

解题思路： 使用罗尔定理。

详细步骤：

  1. 函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，在 (a,b)(a, b) 内可导
  2. f(a)=f(b)f(a) = f(b)
  3. 根据罗尔定理，存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0

答案：存在 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0。

练习 10

证明不等式 ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \leq |x - y|。

参考答案

解题思路： 使用拉格朗日中值定理。

详细步骤：

  1. 设 f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t，在 [x,y][x, y] 上应用拉格朗日中值定理
  2. 存在 ξ∈(x,y)\xi \in (x, y) 使 f′(ξ)=sin⁡y−sin⁡xy−xf'(\xi) = \frac{\sin y - \sin x}{y - x}
  3. 即 cos⁡ξ=sin⁡y−sin⁡xy−x\cos \xi = \frac{\sin y - \sin x}{y - x}
  4. 由于 ∣cos⁡ξ∣≤1|\cos \xi| \leq 1，所以 ∣sin⁡y−sin⁡xy−x∣≤1|\frac{\sin y - \sin x}{y - x}| \leq 1
  5. 因此 ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \leq |x - y|

答案：不等式成立。

洛必达法则题

练习 11

利用洛必达法则计算极限 lim⁡x→0sin⁡xx\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}。

参考答案

解题思路： 检查条件并应用洛必达法则。

详细步骤：

  1. 检查条件：lim⁡x→0sin⁡x=0\lim_{x \to 0} \sin x = 0，lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} x = 0
  2. 满足 00\frac{0}{0} 型
  3. (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x，(x)′=1(x)' = 1
  4. lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0cos⁡x1=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

答案：极限值为 11。

练习 12

计算极限 lim⁡x→+∞x2ex\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}。

参考答案

解题思路： 多次应用洛必达法则。

详细步骤：

  1. 满足 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型
  2. 第一次应用：lim⁡x→+∞2xex\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}
  3. 第二次应用：lim⁡x→+∞2ex=0\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0

答案：极限值为 00。

练习 13

计算极限 lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x。

参考答案

解题思路： 转化为 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型。

详细步骤：

  1. 转化为 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型：lim⁡x→0+ln⁡x1x\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}
  2. (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}，(1x)′=−1x2(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}
  3. lim⁡x→0+ln⁡x1x=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+(−x)=0\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

答案：极限值为 00。

导数应用题

练习 14

求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 的极值点和极值。

参考答案

解题思路： 求导数，找驻点，判断极值。

详细步骤：

  1. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
  2. 令 f′(x)=0f'(x) = 0，得 x=0,2x = 0, 2
  3. f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6
  4. f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0，x=0x = 0 为极大值点，f(0)=2f(0) = 2
  5. f′′(2)=6>0f''(2) = 6 > 0，x=2x = 2 为极小值点，f(2)=−2f(2) = -2

答案：极大值点 (0,2)(0, 2)，极小值点 (2,−2)(2, -2)。

练习 15

求曲线 y=ln⁡xy = \ln x 在点 (1,0)(1, 0) 处的切线方程。

参考答案

解题思路： 求导数，计算切线方程。

详细步骤：

  1. f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}，f′(1)=1f'(1) = 1
  2. 切线方程：y−0=1(x−1)y - 0 = 1(x - 1)
  3. 即 y=x−1y = x - 1

答案：切线方程为 y=x−1y = x - 1。

练习 16

求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 在 [0,3][0, 3] 上的最大最小值。

参考答案

解题思路： 求所有可能的极值点，比较函数值。

详细步骤：

  1. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
  2. 驻点：x=0,2x = 0, 2
  3. f(0)=2f(0) = 2，f(2)=−2f(2) = -2，f(3)=2f(3) = 2
  4. 最大值为 22，最小值为 −2-2

答案：最大值为 22，最小值为 −2-2。

综合应用题

练习 17

设 y=xxy = x^x，求 y′y'。

参考答案

解题思路： 使用对数求导法。

详细步骤：

  1. 两边取对数：ln⁡y=xln⁡x\ln y = x \ln x
  2. 对 xx 求导：y′y=ln⁡x+1\frac{y'}{y} = \ln x + 1
  3. 所以 y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^x (\ln x + 1)

答案：y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^x (\ln x + 1)。

练习 18

求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 的凹凸区间和拐点。

参考答案

解题思路： 求二阶导数，分析符号变化。

详细步骤：

  1. f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x
  2. f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)
  3. 令 f′′(x)=0f''(x) = 0，得 x=1x = 1
  4. 当 x<1x < 1 时，f′′(x)<0f''(x) < 0，函数为凸函数
  5. 当 x>1x > 1 时，f′′(x)>0f''(x) > 0，函数为凹函数
  6. f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \neq 0，所以 (1,f(1))=(1,0)(1, f(1)) = (1, 0) 为拐点

答案：凸区间 (−∞,1)(-\infty, 1)，凹区间 (1,+∞)(1, +\infty)，拐点 (1,0)(1, 0)。

练习 19

设 f(x)=x2f(x) = x^2，g(x)=x3g(x) = x^3，在 [1,2][1, 2] 上验证柯西中值定理。

参考答案

解题思路： 计算相关值并验证定理。

详细步骤：

  1. f(1)=1f(1) = 1，f(2)=4f(2) = 4，g(1)=1g(1) = 1，g(2)=8g(2) = 8
  2. f′(x)=2xf'(x) = 2x，g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2
  3. 根据柯西中值定理：2ξ3ξ2=4−18−1=37\frac{2\xi}{3\xi^2} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{3}{7}
  4. 所以 23ξ=37\frac{2}{3\xi} = \frac{3}{7}，ξ=149\xi = \frac{14}{9}

答案：ξ=149\xi = \frac{14}{9}。

  1. 求曲线 y=x2y = x^2 在点 (1,1)(1, 1) 处的曲率。
参考答案

解题思路： 使用曲率公式。

详细步骤：

  1. f′(x)=2xf'(x) = 2x，f′(1)=2f'(1) = 2
  2. f′′(x)=2f''(x) = 2，f′′(1)=2f''(1) = 2
  3. κ=∣f′′(1)∣[1+(f′(1))2]3/2=∣2∣[1+22]3/2=253/2=255\kappa = \frac{|f''(1)|}{[1 + (f'(1))^2]^{3/2}} = \frac{|2|}{[1 + 2^2]^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}

答案：曲率为 255\frac{2}{5\sqrt{5}}。