不定积分

不定积分

不定积分是微积分的重要组成部分，它是导数的逆运算。理解不定积分的概念对于学习定积分和解决实际问题具有重要意义。

不定积分的定义

基本定义

定义：设 $F(x)$ 的导数为 $f(x)$，则 $F(x)$ 称为 $f(x)$ 的一个原函数，$f(x)$ 的所有原函数记作

$\int f(x) dx = F(x) + C$

其中 $C$ 为任意常数，称为积分常数。

原函数的概念

原函数：如果函数 $F(x)$ 在区间 $I$ 上可导，且 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

性质：

1. 如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）也是 $f(x)$ 的原函数
2. $f(x)$ 的任意两个原函数之差是一个常数

不定积分的几何意义

不定积分表示一族曲线，这些曲线在每一点的切线斜率都等于被积函数在该点的值。

例子：$\int 2x dx = x^2 + C$

这表示一族抛物线 $y = x^2 + C$，其中每条抛物线在任意点 $x$ 处的切线斜率都是 $2x$。

基本积分公式

幂函数积分

基本公式：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

特殊情况：

• $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$
• $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$
• $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$

注意：当 $n = -1$ 时，$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

指数函数积分

基本公式：

• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$，$a \neq 1$）

例子：

• $\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$
• $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

对数函数积分

基本公式：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

注意：这里必须使用绝对值，因为 $\ln x$ 只在 $x > 0$ 时有定义。

三角函数积分

基本公式：

• $\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$
• $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$
• $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$
• $\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
• $\int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$

反三角函数积分

基本公式：

• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$
• $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$
• $\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx = \arccos x + C$（$|x| > 1$）

双曲函数积分

基本公式：

• $\int \sinh x dx = \cosh x + C$
• $\int \cosh x dx = \sinh x + C$
• $\int \tanh x dx = \ln|\cosh x| + C$

不定积分的性质

线性性质

定理：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a$ 和 $b$ 为常数，则

$\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$

证明： 设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数，则 $(aF(x) + bG(x))' = af(x) + bg(x)$ 所以 $aF(x) + bG(x)$ 是 $af(x) + bg(x)$ 的原函数。

积分与微分的关系

定理：

1. $\frac{d}{dx}[\int f(x) dx] = f(x)$
2. $\int f'(x) dx = f(x) + C$

几何解释：

• 积分是微分的逆运算
• 积分常数 $C$ 反映了原函数的不唯一性

其他性质

1. 积分区间可加性 如果 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上连续，$b \in (a, c)$，则 $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

2. 积分保号性 如果 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$

3. 积分中值定理 如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得 $\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a)$

积分技巧

1. 直接积分法

适用情况：被积函数是基本函数的线性组合

例子：$\int (2x^3 - 3x^2 + 1) dx$

解：

• $\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4$
• $\int -3x^2 dx = -x^3$
• $\int 1 dx = x$
• 所以 $\int (2x^3 - 3x^2 + 1) dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C$

2. 凑微分法

适用情况：被积函数可以写成 $f(g(x))g'(x)$ 的形式

例子：$\int x e^{x^2} dx$

解：

• 设 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$
• $\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

3. 三角恒等变换

适用情况：被积函数包含三角函数

例子：$\int \sin^2 x dx$

解：

• 使用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
• $\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

常见错误和注意事项

1. 积分常数错误

错误：忘记加积分常数 $C$ 正确：不定积分必须包含积分常数

错误：在定积分中加积分常数 正确：定积分不需要积分常数

2. 积分公式错误

错误：$\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$ 正确：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

错误：$\int x^{-1} dx = \frac{x^0}{0} + C$ 正确：$\int x^{-1} dx = \ln|x| + C$

3. 积分区间错误

错误：在函数不连续的点进行积分 正确：积分区间必须在函数的连续区间内

4. 积分技巧错误

错误：盲目使用积分公式 正确：先分析被积函数的特点，选择合适的积分方法

积分表的记忆技巧

1. 按函数类型分类

幂函数：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

指数函数：$\int e^x dx = e^x + C$

对数函数：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

三角函数：$\int \sin x dx = -\cos x + C$，$\int \cos x dx = \sin x + C$

2. 记忆技巧

导数与积分的关系：

• 积分是导数的逆运算
• 可以通过求导验证积分结果

几何意义：

• 积分表示面积或体积
• 不定积分表示一族曲线

物理意义：

• 积分表示累积量
• 如位移是速度的积分

练习题

练习 1

计算不定积分 $\int (3x^2 - 2x + 1) dx$。

练习 2

计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2} dx$。

练习 3

计算不定积分 $\int e^{3x} dx$。