积分方法

积分方法

掌握各种积分方法是解决复杂积分问题的关键。除了基本积分公式外，我们还需要掌握换元积分法、分部积分法等重要的积分技巧。

换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

基本思想：将被积函数中的一部分设为新的变量，简化积分。

公式：设 $u = \varphi(x)$，则

$\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(u) du$

步骤：

1. 识别被积函数中的复合函数部分
2. 设 $u = \varphi(x)$，计算 $du = \varphi'(x) dx$
3. 将原积分转化为关于 $u$ 的积分
4. 计算新积分，最后将 $u$ 换回 $x$

第一类换元法的例子

例子 1：$\int x e^{x^2} dx$

解：

• 设 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$
• $\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

例子 2：$\int \frac{1}{x \ln x} dx$

解：

• 设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$
• $\int \frac{1}{x \ln x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C$

例子 3：$\int \sin(2x + 1) dx$

解：

• 设 $u = 2x + 1$，则 $du = 2 dx$
• $\int \sin(2x + 1) dx = \frac{1}{2}\int \sin u du = -\frac{1}{2}\cos u + C = -\frac{1}{2}\cos(2x + 1) + C$

第二类换元法（三角换元）

适用情况：被积函数包含 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$ 等形式。

基本换元：

1. $\sqrt{a^2 - x^2}$：设 $x = a \sin t$
2. $\sqrt{a^2 + x^2}$：设 $x = a \tan t$
3. $\sqrt{x^2 - a^2}$：设 $x = a \sec t$

第二类换元法的例子

例子 1：$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

解：

• 设 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$
• $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\cos t} \cos t dt = \int dt = t + C = \arcsin x + C$

例子 2：$\int \frac{1}{1 + x^2} dx$

解：

• 设 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t dt$
• $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \int \frac{1}{1 + \tan^2 t} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sec^2 t} \sec^2 t dt = \int dt = t + C = \arctan x + C$

分部积分法

基本公式

分部积分公式：

$\int u dv = uv - \int v du$

选择 $u$ 和 $dv$ 的原则：

1. $u$ 的选择：优先选择容易求导的函数
2. $dv$ 的选择：优先选择容易积分的函数

常见选择顺序：

1. 对数函数（$\ln x$）
2. 反三角函数（$\arcsin x$、$\arctan x$）
3. 幂函数（$x^n$）
4. 三角函数（$\sin x$、$\cos x$）
5. 指数函数（$e^x$）

分部积分法的例子

例子 1：$\int x \cos x dx$

解：

• 设 $u = x$，$dv = \cos x dx$
• 则 $du = dx$，$v = \sin x$
• $\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

例子 2：$\int x^2 e^x dx$

解：

• 设 $u = x^2$，$dv = e^x dx$
• 则 $du = 2x dx$，$v = e^x$
• $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$
• 再次使用分部积分法：设 $u = 2x$，$dv = e^x dx$
• 则 $du = 2 dx$，$v = e^x$
• $\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C$
• 所以 $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

例子 3：$\int \ln x dx$

解：

• 设 $u = \ln x$，$dv = dx$
• 则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$
• $\int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C$

有理函数积分

部分分式分解

基本思想：将复杂的有理函数分解为简单的部分分式之和。

步骤：

1. 将分母因式分解
2. 根据分母的因式确定部分分式的形式
3. 通过比较系数确定待定系数
4. 分别积分各个部分分式

有理函数积分的例子

例子 1：$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$

解：

• $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$
• 通分：$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)}$
• 比较分子：$1 = A(x+1) + B(x-1) = (A+B)x + (A-B)$
• 解得：$A = \frac{1}{2}$，$B = -\frac{1}{2}$
• $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1/2}{x-1} dx + \int \frac{-1/2}{x+1} dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$

三角函数积分

三角恒等变换

常用恒等式：

1. $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
2. $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
3. $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
4. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

三角函数积分的例子

例子 1：$\int \sin^2 x dx$

解：

• 使用恒等式：$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
• $\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

例子 2：$\int \sin x \cos x dx$

解：

• 使用恒等式：$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
• $\int \sin x \cos x dx = \int \frac{1}{2}\sin 2x dx = -\frac{1}{4}\cos 2x + C$

无理函数积分

代换法

适用情况：被积函数包含根式。

基本思路：通过适当的代换消去根式。

无理函数积分的例子

例子 1：$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

解：

• 设 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u du$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{u} \cdot 2u du = \int 2 du = 2u + C = 2\sqrt{x} + C$

例子 2：$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx$

解：

• 设 $x = \sec t$，则 $dx = \sec t \tan t dt$
• $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t$
• $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx = \int \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t dt = \int dt = t + C = \arccos \frac{1}{x} + C$

积分技巧总结

1. 选择积分方法的原则

直接积分法：被积函数是基本函数的线性组合

换元积分法：

• 被积函数包含复合函数
• 被积函数包含根式
• 被积函数包含三角函数

分部积分法：

• 被积函数是幂函数与指数函数、三角函数的乘积
• 被积函数包含对数函数或反三角函数

部分分式分解：被积函数是有理函数

2. 积分技巧的组合使用

例子：$\int x^2 \ln x dx$

解：

• 使用分部积分法：设 $u = \ln x$，$dv = x^2 dx$
• 则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^3}{3}$
• $\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3}\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$

常见错误和注意事项

1. 换元积分法错误

错误：忘记将变量换回 正确：最后必须将新变量换回原变量

错误：换元后积分区间错误 正确：注意积分区间的对应关系

2. 分部积分法错误

错误：选择 $u$ 和 $dv$ 不当 正确：按照选择原则选择 $u$ 和 $dv$

错误：忘记积分常数 正确：不定积分必须包含积分常数

3. 有理函数积分错误

错误：部分分式分解错误 正确：仔细检查分解的正确性

错误：待定系数计算错误 正确：通过比较系数确定待定系数

4. 三角函数积分错误

错误：使用错误的三角恒等式 正确：选择合适的三角恒等式

错误：积分区间错误 正确：注意三角函数的定义域

练习题

练习 1

使用换元积分法计算 $\int x e^{x^2} dx$。

练习 2

使用分部积分法计算 $\int x \sin x dx$。

练习 3

计算 $\int \frac{1}{x^2 - 4} dx$。