定积分

定积分

定积分是微积分的核心概念之一，它不仅在数学理论中具有重要地位，在实际应用中也有广泛的应用。定积分可以理解为函数在区间上的”累积效应”。

定积分的定义

黎曼和的定义

定义：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，将区间 $[a, b]$ 任意分割为 $n$ 个子区间：

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$

在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式：

$S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$

其中 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。如果当最大子区间长度 $\max\{\Delta x_i\} \to 0$ 时，和式 $S_n$ 的极限存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作：

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\{\Delta x_i\} \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$

定积分的几何意义

几何意义：定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 和 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。

注意：

• 当 $f(x) \geq 0$ 时，定积分表示面积
• 当 $f(x) < 0$ 时，定积分表示面积的负值
• 当 $f(x)$ 有正有负时，定积分表示面积的代数和

定积分的存在性

定理：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

推论：

1. 连续函数在闭区间上可积
2. 有界且只有有限个间断点的函数在闭区间上可积
3. 单调函数在闭区间上可积

定积分的性质

线性性质

定理：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$k$ 为常数，则：

1. $\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
2. $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$

证明： 利用积分的线性性质和极限的线性性质即可证明。

区间可加性

定理：设 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上可积，$b \in (a, c)$，则：

$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

几何解释：曲边梯形的面积等于两个子区间上曲边梯形面积的和。

积分保号性

定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

1. 如果 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$
2. 如果 $f(x) > 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx > 0$

积分中值定理

定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$

几何解释：存在一个矩形，其面积等于曲边梯形的面积，这个矩形的高就是函数在区间内某点的值。

积分的比较性质

定理：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \leq g(x)$，则：

$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$

积分的绝对值性质

定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$

牛顿-莱布尼茨公式

基本公式

牛顿-莱布尼茨公式：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则：

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

记法：$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

公式的证明

证明思路：

1. 设 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$
2. 所以 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数
3. 设 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，则 $G(x) = F(x) + C$
4. $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^1 x^2 dx$

解：

• $F(x) = \frac{x^3}{3}$ 是 $x^2$ 的一个原函数
• $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

例子 2：计算 $\int_0^{\pi} \sin x dx$

解：

• $F(x) = -\cos x$ 是 $\sin x$ 的一个原函数
• $\int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$

积分上限函数

定义

积分上限函数：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数

$F(x) = \int_a^x f(t) dt$

称为积分上限函数。

性质

定理：积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且

$F'(x) = f(x)$

证明： 利用导数的定义和积分中值定理可以证明。

应用

例子：设 $F(x) = \int_0^x \sin t dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = \sin x$

例子：设 $F(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = \frac{1}{x}$

定积分的计算技巧

1. 利用对称性

偶函数：如果 $f(x)$ 是偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$

奇函数：如果 $f(x)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$

例子：计算 $\int_{-1}^1 x^2 dx$

解：

• $f(x) = x^2$ 是偶函数
• $\int_{-1}^1 x^2 dx = 2\int_0^1 x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2. 利用周期性

周期函数：如果 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，则

$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$

例子：计算 $\int_0^{2\pi} \sin x dx$

解：

• $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
• $\int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$（因为 $\sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的正负面积相等）

3. 利用换元法

定积分的换元法：设 $x = \varphi(t)$，则

$\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt$

其中 $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$

例子：计算 $\int_0^1 x e^{x^2} dx$

解：

• 设 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$
• 当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 1$ 时，$u = 1$
• $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \frac{1}{2}(e - 1)$

常见错误和注意事项

1. 积分区间错误

错误：在函数不连续的点进行积分 正确：积分区间必须在函数的连续区间内

错误：积分上下限颠倒 正确：$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$

2. 原函数选择错误

错误：选择错误的原函数 正确：确保选择的函数确实是被积函数的原函数

错误：忘记积分常数 正确：定积分不需要积分常数

3. 换元法错误

错误：换元后忘记改变积分限 正确：换元时必须同时改变积分限

错误：换元后积分区间错误 正确：注意新变量的取值范围

4. 几何意义理解错误

错误：认为定积分总是表示面积 正确：定积分表示面积的代数和

错误：忽略函数的符号 正确：注意函数在积分区间内的符号变化

练习题

1. 计算定积分 $\int_0^1 x^3 dx$。

2. 计算定积分 $\int_0^{\pi/2} \cos x dx$。

3. 利用换元法计算 $\int_0^1 x e^{x^2} dx$。