向量的基本概念与运算

向量的定义

向量是既有大小又有方向的量，常用有向线段表示。在数学中，向量可以用有序数组来表示。

向量的几何表示

向量用有向线段表示，起点为 $A$ ，终点为 $B$ ，记作 $\vec{AB}$
向量的长度称为向量的模，记作 $|\vec{AB}|$
零向量：长度为 0 的向量，方向任意
单位向量：长度为 1 的向量

向量的坐标表示

在三维空间中，向量可以表示为：

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$

其中 $a_1, a_2, a_3$ 分别是向量在 $x, y, z$ 轴上的投影。

向量的线性运算

向量加法

设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ， $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ ，则：

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$

性质：

交换律： $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
结合律： $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
零向量： $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

向量减法

$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$

数乘运算

设 $k$ 为实数， $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ，则：

$k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$

性质：

$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
$k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$

线性组合

向量 $\vec{v}$ 可以表示为向量组 $\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \ldots, \vec{a}_n\}$ 的线性组合：

$\vec{v} = k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + \cdots + k_n\vec{a}_n$

其中 $k_1, k_2, \ldots, k_n$ 为实数。

向量的模与方向

向量的模

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

单位向量

与向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量为：

$\vec{e}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

方向余弦

向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 与坐标轴正方向的夹角余弦为：

$\cos\alpha = \frac{a_1}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{a_2}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{a_3}{|\vec{a}|}$

其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别为向量与 $x, y, z$ 轴的夹角。

向量的共线与共面

向量共线

两向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线的充要条件是存在不全为零的实数 $k, l$ ，使得：

$k\vec{a} + l\vec{b} = \vec{0}$

向量共面

三向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面的充要条件是存在不全为零的实数 $k, l, m$ ，使得：

$k\vec{a} + l\vec{b} + m\vec{c} = \vec{0}$

例题

例 1：向量运算

已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (4, 0, -1)$ ，求 $2\vec{a} - 3\vec{b}$ 。

解： $2\vec{a} = (2, 4, 6)$ $3\vec{b} = (12, 0, -3)$ $2\vec{a} - 3\vec{b} = (2-12, 4-0, 6-(-3)) = (-10, 4, 9)$

例 2：单位向量

求向量 $\vec{a} = (3, 4, 0)$ 的单位向量。

解： $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$ $\vec{e}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)$

练习题

练习 1

已知 $\vec{a} = (1, -2, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1, -1)$ ，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $2\vec{a} - \vec{b}$ 。

参考答案

解题思路：使用向量的线性运算性质。

详细步骤：

$\vec{a} + \vec{b} = (1+2, -2+1, 3+(-1)) = (3, -1, 2)$
$2\vec{a} = (2, -4, 6)$ $2\vec{a} - \vec{b} = (2-2, -4-1, 6-(-1)) = (0, -5, 7)$

答案： $\vec{a} + \vec{b} = (3, -1, 2)$ ， $2\vec{a} - \vec{b} = (0, -5, 7)$

练习 2

求向量 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ 的模和单位向量。

参考答案

解题思路：使用向量的模公式和单位向量定义。

详细步骤：

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
$\vec{e}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

答案：模为 $\sqrt{3}$ ，单位向量为 $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

练习 3

判断向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\vec{b} = (2, 4, 6)$ 是否共线。

参考答案

解题思路：检查是否存在实数 k 使得 $\vec{b} = k\vec{a}$ 。

详细步骤：

检查 $\vec{b}$ 是否是 $\vec{a}$ 的数倍： $\vec{b} = (2, 4, 6) = 2(1, 2, 3) = 2\vec{a}$
所以两向量共线。

答案：两向量共线。

练习 4

已知三点 $A(1, 2, 3)$ ， $B(2, 3, 4)$ ， $C(3, 4, 5)$ ，求向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{AC}$ 。

参考答案

解题思路：使用向量坐标公式。

详细步骤：

$\vec{AB} = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)$
$\vec{AC} = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$

答案： $\vec{AB} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{AC} = (2, 2, 2)$

练习 5

求向量 $\vec{a} = (3, 4, 5)$ 的方向余弦。

参考答案

解题思路：使用方向余弦公式。

详细步骤：

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$\cos\alpha = \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$
$\cos\beta = \frac{4}{5\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$
$\cos\gamma = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{2}}{10}$ ， $\cos\beta = \frac{2\sqrt{2}}{5}$ ， $\cos\gamma = \frac{\sqrt{2}}{2}$

常见错误与注意事项

向量运算顺序：注意向量加法和数乘的运算顺序
单位向量：单位向量的模必须为 1
方向余弦：方向余弦的平方和等于 1
共线判断：两向量共线时，一个向量是另一个向量的数倍
坐标表示：向量的坐标表示依赖于坐标系的选择

提示：向量运算要特别注意符号和运算顺序，建议多做练习来熟练掌握。