向量的积运算

向量的数量积（点积）

定义

设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则数量积定义为：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

几何意义

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。

性质

1. 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. 分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
3. 数乘结合律：$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
4. 自内积：$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

应用

• 判断垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• 计算夹角：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
• 向量投影：向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

向量的向量积（叉积）

定义

设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则向量积定义为：

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

几何意义

• 结果向量垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面
• 方向遵循右手定则
• 模长：$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$

性质

1. 反交换律：$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$
2. 分配律：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
3. 数乘结合律：$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$
4. 自叉积：$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$

应用

• 判断平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$
• 计算面积：平行四边形面积为 $|\vec{a} \times \vec{b}|$
• 求法向量：两向量叉积得到平面的法向量

向量的混合积

定义

设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为三个向量，则混合积定义为：

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

几何意义

混合积的绝对值表示以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为邻边的平行六面体的体积。

性质

1. 轮换不变性：$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]$
2. 反交换性：$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}]$
3. 线性性：$[k\vec{a} + l\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}] = k[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + l[\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}]$

应用

• 判断共面：三向量共面 $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$
• 计算体积：四面体体积为 $\frac{1}{6}|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|$

三重积公式

拉格朗日恒等式

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c})$

雅可比恒等式

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$

例题

例 1：数量积计算

已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 0, -1)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和两向量的夹角。

解： $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 4 + 2 \times 0 + 3 \times (-1) = 4 - 3 = 1$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$ $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{14} \times \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{238}}$

例 2：向量积计算

求 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\vec{b} = (4, 0, -1)$ 的向量积。

解： $\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times (-1) - 3 \times 0, 3 \times 4 - 1 \times (-1), 1 \times 0 - 2 \times 4)$ $= (-2, 13, -8)$

例 3：混合积计算

计算 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$，其中 $\vec{a} = (1, 0, 0)$，$\vec{b} = (0, 1, 0)$，$\vec{c} = (0, 0, 1)$。

解： $\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 1)$ $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1$

练习题

练习 1

已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 1, -1)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$。

练习 2

判断向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\vec{b} = (2, 4, 6)$ 是否垂直。

练习 3

求向量 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ 和 $\vec{b} = (1, -1, 0)$ 的夹角。

练习 4

计算混合积 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$，其中 $\vec{a} = (1, 1, 0)$，$\vec{b} = (1, 0, 1)$，$\vec{c} = (0, 1, 1)$。

练习 5

求以 $\vec{a} = (1, 0, 0)$，$\vec{b} = (0, 1, 0)$，$\vec{c} = (1, 1, 1)$ 为邻边的平行六面体的体积。

常见错误与注意事项

1. 向量积方向：向量积的方向要遵循右手定则
2. 混合积符号：混合积的符号表示体积的方向
3. 夹角范围：向量夹角范围为 $[0, \pi]$
4. 零向量：零向量与任何向量的数量积为 0
5. 平行向量：平行向量的向量积为零向量

提示：向量积运算要特别注意方向，建议用右手定则来记忆向量积的方向。