空间几何

空间点的坐标

点的坐标表示

空间中一点 $P$ 的坐标为 $P(x_0, y_0, z_0)$，其中 $x_0, y_0, z_0$ 分别是点 $P$ 在 $x, y, z$ 轴上的投影。

两点间距离

设 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，$P_2(x_2, y_2, z_2)$，则两点间距离为：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

空间直线

直线的参数方程

过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $\vec{s} = (l, m, n)$ 的直线参数方程为：

其中 $t$ 为参数。

直线的对称式方程

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

其中 $(l, m, n)$ 为方向向量，$(x_0, y_0, z_0)$ 为直线上一点。

直线的两点式方程

过两点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，$P_2(x_2, y_2, z_2)$ 的直线方程为：

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

直线的一般式方程

表示两平面的交线。

空间平面

平面的一般式方程

$Ax + By + Cz + D = 0$

其中 $(A, B, C)$ 为平面的法向量。

平面的点法式方程

过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$ 的平面方程为：

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

平面的截距式方程

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

其中 $a, b, c$ 分别为平面在 $x, y, z$ 轴上的截距。

平面的三点式方程

过三点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，$P_2(x_2, y_2, z_2)$，$P_3(x_3, y_3, z_3)$ 的平面方程为：

位置关系

两直线的位置关系

设两直线方向向量分别为 $\vec{s}_1 = (l_1, m_1, n_1)$，$\vec{s}_2 = (l_2, m_2, n_2)$：

1. 平行：$\vec{s}_1 \parallel \vec{s}_2$
2. 垂直：$\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = 0$
3. 相交：两直线共面且不平行
4. 异面：两直线不共面

直线与平面的位置关系

设直线方向向量为 $\vec{s} = (l, m, n)$，平面法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$：

1. 平行：$\vec{s} \cdot \vec{n} = 0$
2. 垂直：$\vec{s} \parallel \vec{n}$
3. 相交：$\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0$

两平面的位置关系

设两平面法向量分别为 $\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)$，$\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)$：

1. 平行：$\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$
2. 垂直：$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$
3. 相交：$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \neq \vec{0}$

距离公式

点到平面的距离

点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离为：

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

点到直线的距离

点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到直线 $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ 的距离为：

$d = \frac{|\vec{PP_1} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$

其中 $\vec{PP_1} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)$，$\vec{s} = (l, m, n)$。

两平行平面间的距离

两平行平面 $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ 和 $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ 间的距离为：

$d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

夹角公式

两直线夹角

设两直线方向向量分别为 $\vec{s}_1$，$\vec{s}_2$，则夹角余弦为：

$\cos\theta = \frac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| |\vec{s}_2|}$

直线与平面夹角

设直线方向向量为 $\vec{s}$，平面法向量为 $\vec{n}$，则夹角正弦为：

$\sin\theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}$

两平面夹角

设两平面法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$，则夹角余弦为：

$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$

例题

例 1：直线方程

求过点 $A(1, 2, 3)$，方向向量为 $(1, -1, 2)$ 的直线方程。

解： 参数方程：$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$

对称式方程：$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$

例 2：平面方程

求过点 $A(1, 2, 3)$，法向量为 $(2, -1, 1)$ 的平面方程。

解： 点法式方程：$2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0$

化简得：$2x - y + z - 3 = 0$

例 3：点到平面距离

求点 $P(2, 1, -1)$ 到平面 $x - y + 2z - 4 = 0$ 的距离。

解： $d = \frac{|2 - 1 + 2 \times (-1) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 1 - 2 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$

练习题

练习 1

求过点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(2, 3, 4)$ 的直线方程。

练习 2

求过三点 $A(1, 0, 0)$，$B(0, 1, 0)$，$C(0, 0, 1)$ 的平面方程。

练习 3

判断直线 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ 与平面 $x + y + z = 0$ 的位置关系。

练习 4

求点 $P(1, 1, 1)$ 到平面 $x + y + z = 6$ 的距离。

练习 5

求两平面 $x + y + z = 1$ 和 $x - y + z = 2$ 的夹角。

常见错误与注意事项

1. 方向向量：直线的方向向量不能为零向量
2. 法向量：平面的法向量不能为零向量
3. 距离公式：点到平面距离公式中的绝对值不能省略
4. 夹角范围：夹角范围为 $[0, \frac{\pi}{2}]$
5. 参数方程：参数方程中的参数 $t$ 可以取任意实数

提示：空间几何问题要特别注意方向向量和法向量的计算，建议多画图来帮助理解。