二次曲面

二次曲面概述

二次曲面的一般方程

二次曲面的一般方程为：

$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$

其中 $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ 为常数，且 $A, B, C, D, E, F$ 不全为零。

二次曲面的分类

根据系数矩阵的特征值，二次曲面可以分为以下几类：

1. 椭球面类：球面、椭球面
2. 抛物面类：椭圆抛物面、双曲抛物面
3. 双曲面类：单叶双曲面、双叶双曲面
4. 柱面类：椭圆柱面、抛物柱面、双曲柱面
5. 锥面类：椭圆锥面

球面

球面的标准方程

以点 $(a, b, c)$ 为球心，半径为 $r$ 的球面方程为：

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

球面的一般方程

$x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$

其中 $A^2 + B^2 + C^2 - 4D > 0$。

球面的性质

1. 对称性：球面关于球心对称
2. 截线：球面与平面的截线为圆
3. 切平面：过球面上一点的切平面垂直于该点的半径

例题

求以点 $(1, 2, 3)$ 为球心，半径为 $4$ 的球面方程。

解： $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$

展开得：$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

椭球面

椭球面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

其中 $a, b, c$ 为椭球面的半轴长。

椭球面的性质

1. 对称性：椭球面关于三个坐标平面对称
2. 截线：椭球面与坐标平面的截线为椭圆
3. 体积：椭球面的体积为 $V = \frac{4}{3}\pi abc$

抛物面

椭圆抛物面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$

其中 $a, b > 0$。

双曲抛物面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$

其中 $a, b > 0$。

抛物面的性质

1. 对称性：抛物面关于 $z$ 轴对称
2. 截线：与平行于 $xy$ 平面的平面的截线为椭圆或双曲线
3. 渐近面：双曲抛物面有渐近面

双曲面

单叶双曲面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

双叶双曲面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$

双曲面的性质

1. 对称性：双曲面关于三个坐标平面对称
2. 截线：与坐标平面的截线为双曲线或椭圆
3. 渐近锥面：双曲面有渐近锥面

柱面

椭圆柱面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

抛物柱面

标准方程：

$y^2 = 2px$

双曲柱面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

柱面的性质

1. 母线：柱面的母线平行于 $z$ 轴
2. 截线：与平行于 $xy$ 平面的平面的截线相同
3. 方程特点：柱面方程中不包含 $z$ 项

锥面

椭圆锥面

标准方程：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$

锥面的性质

1. 顶点：锥面的顶点在原点
2. 母线：锥面的母线过顶点
3. 截线：与平行于 $xy$ 平面的平面的截线为椭圆

二次曲面的判别

判别方法

通过二次型矩阵的特征值来判断二次曲面的类型：

1. 椭球面：三个特征值同号
2. 单叶双曲面：两个特征值同号，一个异号
3. 双叶双曲面：三个特征值异号
4. 抛物面：一个特征值为零，其余同号或异号
5. 柱面：两个特征值为零
6. 锥面：一个特征值为零，其余异号

例题

例 1：球面方程

求球面 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 5 = 0$ 的球心和半径。

解： 配方得：$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$

所以球心为 $(1, 2, 3)$，半径为 $3$。

例 2：椭球面

判断曲面 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$ 的类型。

解： 这是一个椭球面，半轴长分别为 $2, 3, 4$。

例 3：抛物面

判断曲面 $x^2 + y^2 = 2z$ 的类型。

解： 这是一个椭圆抛物面，开口向上。

练习题

练习 1

求以点 $(2, -1, 3)$ 为球心，半径为 $5$ 的球面方程。

练习 2

判断曲面 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{16} = 1$ 的类型。

练习 3

求球面 $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y + 8z + 20 = 0$ 的球心和半径。

练习 4

判断曲面 $x^2 - y^2 = 2z$ 的类型。

练习 5

求椭球面 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$ 的体积。

常见错误与注意事项

1. 球面方程：球面方程中 $x^2, y^2, z^2$ 的系数必须相等
2. 椭球面：椭球面方程中各项系数必须为正
3. 抛物面：抛物面方程中必须有一个变量为一次项
4. 双曲面：双曲面方程中必须有一个变量为负号
5. 判别方法：要根据特征值来判断曲面类型

提示：二次曲面的判别要特别注意方程的形式和系数的符号，建议多练习各种类型的曲面方程。