多元函数的基本概念

多元函数的定义

二元函数

设 $D$ 是平面上的一个点集，如果对于 $D$ 中的每一个点 $(x, y)$，按照某种对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $z$ 是 $x, y$ 的二元函数，记作：

$z = f(x, y), \quad (x, y) \in D$

其中 $D$ 称为函数的定义域，$z$ 称为因变量，$x, y$ 称为自变量。

三元函数

类似地，三元函数可以定义为：

$w = f(x, y, z), \quad (x, y, z) \in D$

其中 $D$ 是三维空间中的一个点集。

几何意义

• 二元函数：$z = f(x, y)$ 表示三维空间中的一个曲面
• 三元函数：$w = f(x, y, z)$ 表示四维空间中的一个超曲面

多元函数的极限

极限的定义

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当点 $P(x, y)$ 满足 $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$ 时，都有：

$|f(x, y) - A| < \varepsilon$

则称 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时的极限，记作：

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A$

极限的性质

1. 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一
2. 局部有界性：如果极限存在，则函数在极限点附近有界
3. 四则运算：极限的四则运算与一元函数类似
4. 夹逼准则：如果 $g(x, y) \leq f(x, y) \leq h(x, y)$，且 $\lim g = \lim h = A$，则 $\lim f = A$

累次极限

对于二元函数 $f(x, y)$，可以考虑累次极限：

$\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y) \quad \text{和} \quad \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$

注意：累次极限存在且相等，不一定意味着二重极限存在。

多元函数的连续性

连续的定义

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果：

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处连续。

连续的性质

1. 局部有界性：连续函数在连续点附近有界
2. 四则运算：连续函数的四则运算结果仍连续
3. 复合函数：连续函数的复合函数仍连续
4. 最值定理：在有界闭区域上连续的函数必有最大值和最小值
5. 介值定理：在有界闭区域上连续的函数可以取到最大值和最小值之间的任何值

一致连续性

设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得对于 $D$ 中任意两点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，只要 $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} < \delta$，就有：

$|f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2)| < \varepsilon$

则称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上一致连续。

多元函数的性质

有界性

如果函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，且 $D$ 是有界闭区域，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界。

最值定理

如果函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必能取得最大值和最小值。

介值定理

如果函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$M$ 和 $m$ 分别是 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，则对于 $[m, M]$ 中的任意值 $c$，都存在点 $(x_0, y_0) \in D$，使得 $f(x_0, y_0) = c$。

例题

例 1：二元函数的定义域

求函数 $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 的定义域。

解： 要使函数有意义，必须有 $1 - x^2 - y^2 \geq 0$，即 $x^2 + y^2 \leq 1$。

所以定义域为：$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$，这是一个以原点为圆心，半径为 1 的闭圆。

例 2：极限计算

求 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$。

解： 沿 $x$ 轴趋近：$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = 0$

沿 $y = x$ 趋近：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

由于沿不同路径趋近得到的极限不同，所以该极限不存在。

例 3：连续性判断

判断函数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ 在 $(0, 0)$ 处的连续性。

解： 由例 2 可知，$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 不存在，而 $f(0, 0) = 0$。

所以函数在 $(0, 0)$ 处不连续。

练习题

练习 1

求函数 $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 1)$ 的定义域。

练习 2

求 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$。

练习 3

判断函数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ 在 $(0, 0)$ 处的连续性。

练习 4

求函数 $f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 的定义域。

练习 5

证明函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在整个平面上连续。

常见错误与注意事项

1. 极限路径：多元函数极限要考虑沿不同路径趋近的情况
2. 累次极限：累次极限存在不一定意味着二重极限存在
3. 定义域：多元函数的定义域通常是平面或空间中的区域
4. 连续性：多元函数的连续性比一元函数更复杂
5. 几何意义：要结合几何图形理解多元函数的性质

提示：多元函数的学习要特别注意极限和连续性的复杂性，建议多画图来帮助理解。